吴东红-上海大学.PPT

第五章 定积分 §1. 定积分概念 例题讨论 课外作业（书） 习题 5 — 1（P. 233） 课外作业 §2 . 定积分的性质 中值定理 例题讨论 课外作业（书） 习题 5 — 1（P. 233） §3 . 微积分基本公式 例题讨论 课内练习 课外作业（书） 习题 5 — 2（P. 240） 课外作业 三. 牛顿－莱布尼兹公式 例题讨论 例题讨论 课外作业（书） 习题 5 — 2（P. 240） 练习解答： = 1. = 0. 定理2： 设 f (x) 在[a, b]连续，则积分上限函数 就是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数。 此定理肯定了连续函数的原函数是存在的。 初步揭示了积分学中定积分与原函数之间的 联系，从而可通过原函数来计算定积分。 注意： 定积分与导数概念是相互独立地建立起来的，所以定积分存在（黎曼可积）与原函数存在是两个不同的概念，两者之间并无必然的蕴含关系。 例如，一切在 [a, b] 上只有有限个第一类间断点的有界函数是（黎曼）可积的，但该函数不可能有原函数。（因为可导的函数不可能有第一类间断点） 1，2，3，4 ，5（1，3） 9（1，2），10，11，12 习题 5 — 3（A） 6（2，4），10 习题 5 — 3（B） 6，7，8 （习题集 P. 59 — 61） 牛顿(Nenton) 莱布尼兹(Leibniz) ( 1642 — 1727 英 ) ( 1646 — 1716 德 ) 从瞬时—运动学角度 从无穷小—几何学角度 定理3. （N－L 公式） 设 F (x) 是连续函数 f (x) 在 [a, b]上的任一个原函数，则 证： 已知 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 也是 f (x)的一个原函数, 二者仅相差一个常数 C , 令 x = a , 令 x = b , 它进一步表明了定积分与不定积分的联系， f (x) 在[a, b]上的定积分就是它的原函数 由此可见，积分是微分的（无限）积累。 定理1，2，3 揭示了原函数与不定积分与定积分的内在联系，成为沟通微分与积分的桥梁。 即：一个连续函数在[a, b]上的定积分 等于它的任一个原函数在 [a, b]上的增量。 F(x) 的微分在[a, b]上的定积分。 1. 微分中值定理（L — 定理） F(x) 在 [ a, b ] 连续，在 ( a, b ) 可导， 2. 积分中值定理 f (x) 在 [ a, b ] 连续， 3. N — L 公式 F(x) 是 f (x) 的任一个原函数, 微分中值定理 积分中值定理 沟通 ∴这三个定理又被命名为微积分基本定理， N－L公式 又称为微积分基本公式。 由此，当被积函数的原函数可以求得时，计算定积分就不必从定义出发求和式极限，而只要算出原函数在上，下限的函数值的差即可。求定积分问题就转化为求原函数。正是这样，不定积分在数学分析中及应用中才具有非常大的意义。 计算下列定积分： 性质2. 被积函数的常数因子可提到积分号外。 k k k：常数 性质3. c c （说明积分区间具有可加性） 性质4. 若在[a, b]上, f (x) ≡ 1 , 则 （区间长度） 性质5. 若在[a, b]上, f (x) ≥0 , 则 推论1 若在[a, b]上, f (x) ≤ g (x) , 则 ≤ ≥ 0 ，( a b ). 推论2 38 性质6. （估值定理 ） ( 由 m ≤ f (x) ≤ M 取积分可证 ) 性质7. （定积分中值定理） 若 f (x) 在[a, b]连续，则在[a, b]上 至少存在一点 ξ ，使 又称积分中值公式 39 证： 由性质6: ∵ f (x) 在 [a, b] 连续， 说明数值 介于最小值 m ∴由介值定理， 至少存在一点 和最大值 M 之间. 定积分中值定理 的几何解释： f (x) 在 [a, b] 连续，就有 y x a b 0 y x a b 0 在 [a, b] 上总存在一点 ξ ，使得曲边梯形的面积等于同一底边，高为 f (ξ ) 的一个矩形的面积。 考虑连续函数 y = f (x) 在[a, b]上取的一切值的平均值。 设分点 分[a, b]为 n 等分， 分点处的函数值依次记为 y x a b 0 x1 xn-1 y0 y1 yn-1 yn 可近似表达 f (x) 在[a, b]上所取 当把 [a, b] 无限细分， 一切值的平均值， 即为 f (x) 在 [a, b] 所取的一切值的平均值。 ∵为等分， 即为 f (x) 在 [a, b] 所取的一切值的平均值。 (定积分中值公式) 1. 比较 与