定积分与不定积分辅导.DOC

定积分与不定积分辅导 学习要求： 正确理解定积分的概念，掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿-莱布尼茨公式计算 定积分，掌握定积分在几何上的应用 了解原函数与不定积分概念 掌握直接积分法 了解微分方程的有关概念 内容： 1．定积分的概念 2．定积分的性质 3．牛顿-莱布尼茨公式 4．定积分的计算 5．定积分在几何上的应用 6．不定积分 7．不定积分基本积分公式 8．不定积分计算 9．可分离变量的微分方程 内容指导： 一元函数积分学中的另一个基本问题——定积分问题。不定积分作为导数（或微分）的逆运算引入，而定积分概念是由实际需要，特别是几何、物理上的需要，而引进的。教材从计算曲线梯形的面积入手，引进了定积分概念。正确理解定积分概念是本章的重点之一。另外两个重点是：计算定积分与在几何上的应用。 对于不定积分，重点是掌握不定积分的计算方法，特别是凑积分法。 定积分的概念 要正确理解定积分的概念，需要把握下列诸方面： （1）正确理解定积分的定义。 定积分的定义，实质上是告诉我们一种解决问题的思想方法。它主要用于对区间，上某一量的计算。例如，底为区间， 、高为的曲边梯形面积的计算；作变速直线运动的物体，在某一时间区间，上路程的计算等等。定义采用：分割、代替、作和式与求极限四步，把要算的量归结为和式的极限： 当该极限存在时，就称此极限值为函数在区间，上的定积分，记作，即 = 应当指出：分割是任意的，即极限值不依赖于分割的方式；代替是指，小区间上任意一点处的代替变动的，即“不变代变”；作和式是将有限项累加起来，它可作为所求量的近似值，且分割越细，其精确度越高；求极限，就是当每个子区间的长（此时，必有）时，和式的极限值即为所计算量的精确值。 另外，关于定积分定义，还有如下补充说明： 在定义中，我们只假定，对及 的情况，可补充定义 =，=0 经过这样补充定义后，定积分的上、下限就没有什么限制了。 （2）定积分存在的条件 被积函数具备什么条件，和式的极限，即定积分存在呢？其充分条件是：如果函数在积分区间，上连续，那么定积分必定存在，今后，无特别声明，我们总假定被积函数在积分区间上连续。 顺便指出，定积分存在的必要条件是：函数在，上有界。也就是说，当函数在，上无界时，定积分肯定不存在。 （3）定积分的几何意义 当函数时，我们已经知道，定积分在几何上表示以为曲边的曲边梯形面积，如图示。 如果在区间，上，函数，那么曲边梯形位于轴的下方，如图示。 在积分 = 右端的和式中，由于，故每一项。从而积分也是一个负数（或零），这是它等于曲边梯形面积的负值，即 =-S 或 -=S 如果函数在，有正有负时，则定积分就等于由曲线，直线与轴所围成的几个曲边梯形面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号。例如，对于下图，有 = 定积分的性质 定积分的性质归纳起来可以和写为： =+ （为常数）称为定积分的线性性质。 牛顿-莱布尼茨公式 设是连续函数在区间[a，b]上的一个原函数，则 = 这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式。有了它，定积分的计算问题就转化为求不定积分的问题，从而提供了计算定积分的一种简便方法。 应当注意，公式适用的条件是被积函数连续，但当被积函数分段连续时，可用定积分的 性质把积分区间分成若干个子区间来计算。 定积分的计算 由牛顿-莱布尼茨公式可以把定积分计算归结为不定积分的计算，但定积分计算时，还需注意下列三个方面。 （1）定积分的上、下限随积分变量的更换而更新。 （2）奇、偶函数在关于原点对称的区间 上的积分，有 定积分在几何上的应用 不定积分的概念 （1）原函数与不定积分 定义 设是定义在区间上的已知函数，如果存在函数是，使得在区间上的任何一点处都有 或 则称是函数在区间上的一个原函数。 这里，我们指出：如果函数在区间上连续，则在上必有原函数，即连续函数必有原函数。 定义 若是函数在区间上的一个原函数，则称的全部原函数+C（ C为任意常数）为的不定积分，记作 即 =+C 其中“ ”是积分号，叫做被积函数， 叫做被积式， 叫做积分变量， C叫做积分常数。 不定积分也简称为积分，求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法。 由原函数与不定积