极坐标中的应力函数与相容方程平面问题的极坐标解答.ppt

由应力分量的坐标变换式可得： [练习4] 试将以 表示的相容方程式 展开。 分项求偏导数，最后相加，得： 解： [练习5] 等厚度圆环的内外半径分别为a和b，以等角速度 旋转，见图4a），试求其应力和位移。 y z x a b O x O a b a) b) 1、本题为位移轴对称问题（平面应力情况），其特征是 只是r的函数，根据基本方程，求解本题的平衡微分方程为式（1）,其中 是材料的比重， g是重力加速度，几何方程与物理方程分别为： 解： 图4 把式（3）代入式（1），得： 式（4）代入式（3）得应力表达式为： 式中， 。 2、由内外圈的边界条件确定常数，进而求出位移和应力： [练习6] 楔形体右侧面受均布荷载q作用，见图5。试求其应力分量。 y q x r O 2、由双调和方程确定f（?），由平衡微分方程在一般情况下的通解得应力表达式： 1、楔形体内任一点的应力分量决定于 其中，q的量纲为[力][长度 ，与应力的量纲相同。因此，各应力分量的表达式只可能取Nq的形式，而N是以 表示的无量纲函数，也就是应力表达式中不可能出现 ，再由平衡微分方程在一般情况下的通解知，应力函数 应是 的某一函数乘以 ，即可设： 图5 解： 3、应力边界条件为： 由此可求出常数，代回式（3）得应力分量（李维解答）为： 在梁的内外两面，正应力要求: 从而可得： 在梁端的边界条件要求: 则： 将 的表达式： 代入，并由边界条件得： 在这里有三个方程和三个待定常数，解出A、B和C，代入应力分量表达式，得到郭洛文解答: 其中： §4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移 一、等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移 设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度 旋转。圆盘可以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态： 由于这里是轴对称的物体受轴对称的体力，所以应力分布也是轴对称的。 即：应力分量 及 都只是 的函数，而 。所以有平衡微分方程： 令： (1) 在这里，由于圆盘只受回转轴的约束，而这种约束是轴对称的，所以它的弹性位移也是轴对称的。即：径向位移 ，而环向位移 。于是几何方程简化为： 消去 ，得到相容方程： 解方程得到： 将物理方程代入，再联立式(1)，得到由应力函数 表示的相容方程： 联立式（1），得： (2) 其中 和 是任意常数。 盘边的边界条件： 其中 是圆盘的半径。代入式（2），得： 取 ，代入式（2）得应力分量的表达式为： 最大应力在圆盘的中心： 径向位移： 在圆盘的中心（ ）， 。最大弹性位移发生在圆盘的边缘（ ）： 二、变厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移 假定圆盘的厚度为 ，而应力不沿厚度变化，则等厚度圆盘的微分方程可以近似地应用于每单位厚度的圆盘。于是可得全厚度内的平衡微分方程为： 令： 可得： 取厚度的变化规律为： 其中 是常数， 为任意正数。则上式成为： 解方程，得： 其中 和 是任意常数，而： 由此可得出应力分量： 由边界条件 ，求得： 为了应力在圆盘的中心（ ）处不成为无限大，取 。 从而得应力分量为： 且，有： §4-9 圆孔的孔边应力集中 板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。 应力集中的程度与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。这里简略讨论圆孔孔边应力集中问题，较为复杂的孔边应力集中问题一般用复变函数方法，在第五章中进行讨论。 图4-10 一、 矩形板左右两边受集度为q的均布拉力 设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为 的小圆孔，在左右两边受均布拉力，其集度为 ，如图4-10。 以远大于 的某一长度 为半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件： 上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是： 第二部分是： 求面力（a）所引起的应力。令： 。得： (a) (b) 由于 ，所以可近似地取 ，从而得到解答： 求面力（b）所引起的应力。采用半逆解法：假设 为 的某一函数乘以 ，而 为 的另一函数乘以 。即： 又应力函数和应力分量之间的关系为： 因此可以假设： 代入相容方程，得： 删去 ，求解常微分方程，得： 从而得应力函数： 从而得应力分量： 对上式应用边界条件（b），并由边界条件： 得到方程： 求解 、 、 、 ，令