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课前篇检查与展示 2.3 数学归纳法 高二数学组 林占生 问题 1: 问题2：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一 ...... 我是白的哦！ ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象,得到一般结论的推理方法 考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 思考：归纳法有什么优点和缺点？ 优点：可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律 缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的 思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？ 思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？ 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立; （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立. 最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立 数学归纳法 【命题成立的连续性】 【命题成立的必要性】 这种证明方法叫做 数学归纳法 1 3 7 9 5 1+3+5+…+(2n–1)=n2 (n∈N*) 证明： 例1：观察 归纳猜想： 你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。 n n （1）当n=1时，左边=1, 右边=12=1， 等式成立. （2）假设n=k时等式成立， 即1+3+5+…+(2k–1)=k2 , 则n=k+1时， 1+3+5+…+[2(k+1)–1] = 1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 =(k+1)2. 即n=k+1时等式也成立. 根据（1）,（2）知等式对一切n∈N*都成立. 1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ 用数学归纳法证明 n2 　　即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何　　　都成立。 证明： 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ 那么当n=k+1时 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 ＝ + [2(k+1)－1］ k2 ＝ ＋2k＋1 k2 ＝ （k+1）2 （假设） （利用假设） 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 证明传递性 （凑结论） 数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证n=n0时命题成立。 若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。 归纳奠基 归纳递推 注：两个步骤,一个结论,缺一不可 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的 （2）假设当n=k时等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2），可知等式对任何 都成立 如果 是等差数列，已知首项为 公差为 ，那么 对一切 都成立 例2 试用数学归纳法证明 因此数学归纳法是一种科学的递推方法 (1)是递推的基础 (2)是递推的依据 注意 ： 1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可. 2、第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法。 3、最后一定要写“由（1）（2）……” 例3：用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 从n=k到n=k+1有什么变化 利用假设 凑结论 证明: 2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ 则当n=k+1时， + ＝ = ∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。 = 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立 练习2　用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝ 　　　　等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是 那么