极限的求法.DOC

极限的求法 1. 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 2．利用极限的四则运算法则来求极限 为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号表示在某个极限过程中的极限，因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下： 定理 在同一变化过程中，设都存在，则 （1） （2） （3）当分母时，有 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 求。 解 3．无穷小量分出法 适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式 例3． 分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限. 为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以当 说明：因为 ,但是 趋于 的速度要比 趋于 的速度快，所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) （运算法则） （当 时， 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.） 4. 消去零因子法 适用于分子、分母的极限同时为0,即 型未定式 例4． 分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 5. 利用无穷小量的性质 例5． 求极限 分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形. 解 原式= (恒等变形) 因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 ≤1, 即 是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小, 得 =0. 6. 利用拆项法技巧 例6： 分析：由于= 原式= 7. 变量替换 例7 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换. 解 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 8. 分段函数的极限 例8 设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 宏志网校 俊杰