微积分C第3章习题.doc

PAGE PAGE 9 习3.1 2（2），求圆的面积为1时，面积变量相对于周长的变化率。 解 此时是的函数 。于是对周长的变化率为 。 当时，此时。 5(2). 设，在点可导，求的取值范围。 解 设。当时，是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论。 考虑左导数 ， 考虑右导数 ， 因此该函数当时在点可导，导数为0. 6. 设。求使得在可导。 解法1 因可导必连续，则 ，则。这样在处也连续。 此时 ，，。 ，。 若存在，则应有。此时。 解法2 同理可得。 ，，则。 ，。 若存在，则应有。此时。 7. 设在点连续，且。 （1）求，（2）问在点处是否可导。 解 （1）由连续性可知 。若，则， 与题设矛盾。必有，即。 （2）， 由导数定义可知在点处可导，。 8. 设在点连续，求在处的导数。 解 由导数的定义 注：不能，故。 9. 设，，，。 求 （1）， （2）， （3） 解 （1）原极限 （2）原极限 （3）原极限 10. 设，，求极限 。 解 原极限 。 习3.2 1. 3.求下列函数的导数 （3） 解 。 这里用到导数公式。 （8） 解 此时。由公式，…… 则 。 用对数求导法 两边求导数 。 则 习3.3 1.设可导，求下列函数的导数 (3) 解 （5） 解 2. 求下列函数的导数 （4） 解 （5） 解 。 （6） 解 。 （7） 解 。 （8） 解 （9） 解法一 解法二 对数求导法 ， 。 （10） 解 3. 设 （《全解》有误） （1）若在内可导，求的取值范围； （2）若在内连续可导（即连续），求的取值范围。 解 （1）显然左导数。右导数 ， 只有在时才有极限值0. 则此时有导数。 于是当时，处处可导，且。 （2）显然在时连续（初等函数）。在处，。只有在时，这个极限存在且为0. 4.已知与在点相切，求的值。 （若两条曲线在点相交，且在这个交点处两条曲线的切线相同，则称两曲线在该点相切） 解 在处两曲线切线的斜率分别为 ，。 相切时应有。 根据相切的定义，在处应有，则。于是。 5. 设在上可导。证明 （1）若是奇函数，则是偶函数； （2）若是偶函数，则是奇函数； （3）若是周期函数，则也是周期函数且周期不变。 证 （1）若是奇函数，。左边求导数， 右边求导数，于是，即。故是偶函数。 （2）若是偶函数，。左边求导数， 右边求导数，于是，即。故是奇函数。 （3）若以为周期，。左边求导数， 右边求导数，于是。故以为周期。 6. 设的反函数为， 利用复合函数求导数的法则证明：若可导且，则。 解 此时，两边对求导可得，于是，即。 7. 设是由方程所确定的隐函数，求及该函数在点处的法线方程。 解 方程两端对求导 。 则 ，因此 。 该函数所确定的曲线在原点的切线斜率为 。因此法线在该点的斜率为。 由点斜式可知法线的方程为。 8. 设是由方程所确定的隐函数。 （1）求曲线与直线的交点坐标； （2）求曲线在交点处的切线方程。 解 （1）解方程组。 第二个方程代入第一个方程。可得出交点。 （2）隐函数求导 ，将交点坐标代入 ， 则。切线为，。 习3.4 4. 求下列函数的微分 （4），可微 解法1 。 解法2. 因， 则 。 6. 给定方程，求以及。 解 9. 找原函数 （1） 解 。 因此。 习3.5 设，求使得的点。 解 ，。 令，因，则只有。使得的点为。 2. 设，求出使得的的取值范围。 解 函数的定义域是。，。令，则。 4. 设是由方程所确定的隐函数，求及。 解 在方程两端求导数 ，可得 。 于是 。再求二阶导数，注意都是的函数 ，。 2. 设，求使得的的取值范围。 解 。，。 当时，此时。 4. 设是由所确定的隐函数，求和。 解 方程两端对求导 ，解得。则。 再求导 。 则 。 省略。 5. 设二阶可导，。求参数方程 的导数。 解 8. 证明。 解法一 用数学归纳法。时，，结论成立。 假定结论对于成立，即。 当时，则 由属性归纳法原理可知结论成立。 解法二 用高阶导数的莱布尼兹公式 。 令，则。令，则。 。 习3.6 是某商品的需求价格函数为，其中和是正的常数。证明需求价格弹性。 解 ，则。 2.假设某产品的成本关于产量的弹性定义为。 证明，其中分别表示边际成本和平均成本。 证 。 3. 将旅店的租房价格从每天75元提高到每天80元，会使出租量从每天100套降到每天90套。 （1）求房租为每天75元时的需求价格弹性。 （2）求房租为每天75元和80元时旅店的总收益。 （3）问该旅店是否应该提价。 解（1）由弹性的定义（P81）。因此，这里 ，。则。 （2）收益，，。 （3）不应该提价。 习题三 设在的某去心邻域内满足 （1） （2）存在常