2013年北约自主招生数学试题.doc

2013年北约自主招生数学试题 一、选择题 1.以和1?为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 A.2 B.3 C.5 D.6 2.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？ A.720 B.20 C.518400 D.14400 3.已知x2=2y+5,y2=2x+5，x≠y,则x3?2x2y2+y3的值为 A.10 B.12 C.14 D.16 4. 数列满足，前项和为，则为 A. 3019?2 2012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D.无法确定 5. 如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试则与的大小关系是 A. BM+CNMN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定 6. 模长为1的复数，满足，则的模长为. A. B. 1 C. 2 D.无法确定 二、填空题 7.已知，满足，且，求证：. 8. 对任意的，求的值 9. 最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数 10. 已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有.试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由. 2013年北约自主招生数学试题解答 1.【简解】式满足条件的一个多项式，故次数最小的多项式次数不超过5.假设g(x)=也是满足条件的一个，这里a,b,c,d,e为不全为零的有理数，则g()=4a+2c+e+(2b+d)=0, 4a+2c+e=2b+d=7a+b-c-d-e=2a+3b+2c+d=6a+3b+c=0，根据行列式知，此方程组解为a=b=c=d=e=0。故选C 2.【简解】，选D 3.【简解】两已知式子作差，得到x+y=-2，从而 或 ，xy=-1；原式=-16，选D 4.【简解】；，，作差有，，两边同除以，有，==，.选A 5.【简解】如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以.所以.选A 6.【解析】 .选B 7.【解析】设，而 =-=0 则中每个数或为，或为. 设其中有个，个，则： =0 而为奇数，不可能为0，所以.于是知： . 从而知：，即得.同理可知：.命题得证. 8.【简解】首先推得cos3β=4cos3β-3cosβ,从而 原式=32×-(4-3)-6(-1)-15=10 9.【解析】可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个（否则，若某一类型的数至少取到三个，有不可能为素数）. 结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数. 10.【解析】数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下： 显然，要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，只需证明，对于任意，都有，其中. 若存在一组.令，其中，.则当时，都有.也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾. 所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.