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时反比例函数的图象和性质
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和 点B (x2,y2). 如果x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系? 解:因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的任一支 上,y 都随 x 的增大而减小,因此当x1>x2时, y1<y2. 反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P,Q 向 x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形, 填写下页表格: 合作探究 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2,2) Q (4,1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1,S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系 P (-1,4) Q (-2,2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P,Q 两点,填写表格: 4 4 S1=S2 S1=S2=-k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程,可以猜想: 若点P是 图象上的任意一点,作 PA 垂直于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. y x O P S 我们就 k 0 的情况给出证明: 设点 P 的坐标为 (a,b) A B ∵点 P (a,b) 在函数 的图 象上, ∴ ,即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k; 若点 P 在第二象限,则 a0,b0, 若点 P 在第四象限,则 a0,b0, ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (-b)=-ab=-k. B P A 综上,S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k 0的情况. 点 Q 是其图象上的任意一 点,作 QA 垂直于 y 轴,作 QB 垂直于x 轴,矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理:△QAO与△QBO的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= . Q 对于反比例函数 , A B |k| y x O 归纳: 反比例函数的面积不变性 A. SA SBSC B. SASBSC C. SA =SB=SC D. SASCSB 1. 如图,在函数 (x>0)的图像上有三点A,B , C,过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点 所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分 别为SA ,SB,SC,则 ( ) y x O A B C C 练一练 2. 如图,过反比例函数 图象上的一点 P,作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6,则 k = . -12 提示:当反比例函数图象在第二、四象限时,注意 k<0. y x O P A 3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,N,若四边形 PMON 的面积为 3,则这个反比例函数的关系式是 . 或 例5 如图,P,C是函数 (x0) 图像上的任意两点,过点 P 作 x 轴的垂线 PA,垂足为 A,过点 C 作 x 轴的 垂线 CD,垂足为 D,连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1,则 S1= ;梯形CEAD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2;△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 典例精析 2 S1 S2 > = S3 如图所示,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是AB 上的点,△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的
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