讲座 多元积分.doc

第九章 二重积分 第一节 二重积分的概念及性质 一、例 1 平面薄板的质量 已知一平面薄板，在平面上占有区域，其质量分布的面密度函数为为上的连续函数，试求薄板的质量（图1）． 图1 由于薄板质量分布不均匀，故我们采用求曲边梯形面积的方法，分三步解决这个问题： ① 分割:将区域任意分割成个小块 , 用 既表示第个小块，也表示第个小块的面积． ② 近似代替:记为的直径（表示中任意两点间距离的最大值）．当很小时，由于密度函数为为上的连续函数，所以可以认为在上质量分布是均匀的，并用任意点处的密度作为的面密度，记为第个小块的质量，则 ． ③求和：薄板的质量可以表示为 ． ④取极限:若记，则定义 为所求平面薄板的质量． （2）曲顶柱体的体积 若有一个柱体，它的底是平面上的闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线，且母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面．设为上的连续函数．称这个柱体为曲顶柱体（图2）．下面求其体积． 与实例１那样，也分三步解决这个问题． ① 分割：将区域任意分割成个小块 ， 且也表示第个小块的面积，这样就将曲顶柱体相应地分割成个小曲顶柱体，它们的体积记为． ② 近似代替：记为的直径．则当很小时，由于曲面是连续的，所以在分割极细的情形下，本来是曲顶的小柱体可以近似的看成是平顶的．在中任取一点，以为高而底为的平顶柱体的体积为，可以将其看作是以为底的小曲顶柱体体积的近似值，即 ③求和：曲顶柱体体积的近似值可以取为 ． ④取极限：若记，则定义 为所求曲顶柱体的体积． 图2 以上两例，解决的具体问题虽然不同，但解决问题的方法却完全相同，且最后都归结为同一结构的和式的极限．还有许多实际问题的解决也与此两例类似，我们把其数量关系上的共性加以抽象概括，就得到二重积分的概念． 二、二重积分的概念 定义 设二元函数是定义在有界闭区域上的有界函数． 分割：将区域任意分割成个小块 ，也表示第个小块的面积． 求和：任取一点，作和式 ． 取极限：记为的直径，．若 存在，且此极限值不依赖于区域的分法，也不依赖于点的取法，则称二元函数在区域上可积，称此极限为函数在区域上的二重积分，记作，即 ． 其中称为被积函数，称为积分区域，称为被积表达式，称为面积元素，和称为积分变量． 可以证明： 若函数在有界闭区域上可积，则在上有界； 若函数在有界闭区域上连续，则在上可积． 三、二重积分的几何意义 像定积分那样，二重积分的几何意义，也可以理解为： 若在区域上，则二重积分 表示以区域为底，以曲面为曲顶的曲顶柱体的体积． 特别地，若在区域上，，且的面积为，则 ． 这时，二重积分可以理解为以平面为顶，以为底的平顶柱体的体积，该体积在数值上与区域的面积相等． 由二重积分的定义还知，非均匀物质薄板的质量等于其面密度在区域上的二重积分． （2）若在区域上，则上述曲顶柱体在面的下方．二重积分的值是负的，它的绝对值为该曲顶柱体的体积． （3）一般来说，若函数在区域中的某些小区域上非负，而在另一小区域上非正，则在区域上的二重积分就是这些小区域上的曲顶柱体的体积的代数和：的小区域上的体积取“+”， 的小区域上的体积取“-” ． 四、二重积分的基本性质 二重积分具有与定积分类似的性质．设，在有界闭区域上均可积，则有如下性质： （1）． （2）（为常数）． （3）（对积分区域的可加性）设，且，则 ． （4）如果在有界闭区域上有，则 ． （5）在有界闭区域上 ． (6) （估值定理）设和分别为函数在有界闭区域上的最大值和最小值，则 ． 其中，表示区域的面积． （7）（积分中值定理）设在有界闭区域上连续，是区域的面积，则在上至少存在一点，使得 ． 上式右端是以为高，以为底的平顶柱体的体积． 第二节 二重积分的计算与应用 由二重积分的定义来计算二重积分，十分复杂．通常是把二重积分化为累次积分，再依次利用定积分进行计算． 一、二重积分的计算 1．在直角坐标系下计算二重积分 我们由二重积分的定义知道，当在区域上可积时，其积分值与区域的分割方法无关，因此可以采取特殊的分割方法来计算二重积分，以简化计算．在直角坐标系中，用分别平行于轴和轴的直线将区域分成许多小矩形，这时面积元素，二重积分也可记为 ． 根据二重积分的几何意义，通过计算以曲面为顶，以平面上闭区域为底的曲顶柱体的体积来说明二重积分的计算方法． (1) 若区域可以表示为： ，， 其中，在上连续，则称为型区域(图3）． 型区域的特点：穿过区域且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点． 型区域上，如何计算，为方便，推导二重积分的计算公式时，假定，这时表示以平面为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积，如图4所示，过任意点（）作垂直于轴的平面与曲顶柱体相截，其截面为以区间为底，曲线为曲边的曲边梯形（图4的