数与坐标系.DOC

第二章：空間向量 楊朝凱 老師編著 PAGE 1 - ?§2-4平面方程式? 精研一：平面方程式 1.法向量：若向量垂直於平面，則稱為平面之法向量。 2.點向式：坐標空間中，平面通過且，則： 平面方程式為 3.一般式：我們可以將上述點向式改寫為型如， 其中，此寫法稱為平面的一般式。 說明：?平面方程式為三元一次方程式。 ?平面方程式的法向量並不唯一。 4.截距式：若平面與、、軸分別交於、、，則： ?平面方程式為。(其中) ?四面體之體積為 說明：截距並非距離。 數學小語 很久很久以前，數學是從結繩開始的... ◎精選範例一◎ 設平面之法向量為，且平面通過點，求平面之方程式 。 類題 設、，則之垂直平分面方程式為 。 ◎精選範例二◎ 已知平面包含三點、、，試求平面之方程式為 。 類題 已知平面通過三點、、，試求平面之方程式為 。 ◎精選範例三◎ 已知平面與、、軸之截距分別為5、、4，則： (1)平面的方程式為 。 (2)平面與三坐標軸所圍成之四面體體積為 。 類題 已知平面與、、軸之截距比為，且平面通過點，則： (1)平面的方程式為 。 (2)平面與三坐標軸所圍成之四面體體積為 。 精研二：兩平面的夾角 1.兩平面的夾角：若平面，法向量； 平面，法向量； 則與的夾角即為法向量與的夾角。 2.垂直與平行：若兩平面與的法向量分別為及，則： ?兩平面垂直： ?兩平面平行： ◎精選範例四◎ 若平面與的夾角為，求： 。 類題 設平面與的銳夾角為，求 。 ◎精選範例五◎ 設平面與，則： (1)若與垂直，則 。 (2)若與平行，則 。 類題 設平面與，則： (1)若與垂直，則 。 (2)若與平行，則 。 精研三：點到平面的距離 1.點到平面的距離：點到平面的距離為 2.兩平行面的距離： 若平面；，且， 則 3.點到平面的距離之應用： 若、分別表示點與點到平面的距離，設與平面交於點， 則 無吾不能之事，無吾不為之利；無吾不解之謎，無吾不勝之爭。 ◎精選範例六◎ (1)點到平面之距離為 。 (2)為在平面上移動的一點，求： 之最小值。 類題 已知，平面，若到平面的距離為7，試求 。 ◎精選範例七◎ 求平面與平面的距離 。 類題 求與平面平行且距離為1的平面方程式 。 ◎精選範例八◎ 設平面，、，若與平面交於點 ，則求 。 類題 設、，若與平面交於點，則 。 ◎精選範例九◎ 設平面與平面，求與的夾角 平分面方程式為 。 類題 設平面與平面，求與的夾角 平分面方程式為 。 精研四：平面族 1.平面族：空間中已知兩平面與及其相交的直線，則過的任意平面，可設為或。 ◎精選範例十◎ 求過平面與平面的交線，且又過 之平面方程式為 。 類題 求包含軸，且又過之平面方程式為 。