理论力学22课件.ppt

11.3 质点系的动能定理 质点系的动能定义为系内各质点的动能之和,即 质系动能的计算, 常常可以利用柯尼希定理来加以简化。 设质点系的质心为C, 第i个质点的质量为mi,相对质心平动系的速度为vir,则它的绝对速度为: vi = vC + vir 11.3.1 质点系的动能 vi = vC + vir vi2 = vC2 + vir2 + 2vC · vir 故质点系的动能为 式中T是质点系相对质心平动系运动的动能: 上式称为柯尼希定理(K?nig’s theorem),即质点系的动能等于其质心的动能与质点系相对于质心运动的动能之和。 ■ 刚体运动的动能 (1) 平动 T = mvC2/ 2 因为 T = 0, 故 (2) 定轴转动 (2) 定轴转动 O A C VC ω 柯尼希定理: (3) 平面运动 设刚体的质心速度为vC , 相对质心转动的角速度为ω, 则: * 例1：半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C 运动x 距离时，力F所作的功。 2r O r C x F 解：将力F向轮心简化，产生力偶 MC=Fr ，轮的转动角度为 。 根据式 力F 所作的功为 2r O r C x F 力F 所作的功是否还有其它方法可算？ 例2.质量为m的均质杆与相同质量的均质小球固结, 以角速度ω绕轴O转动,如图示。已知杆长为l,小球半径为r, 求组合体的动能 (小球对直径轴的转动惯量为2mr2/5 )。 O C ω × × × 例3. 己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m,均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u,试求系统的动能。 A B C u × × × 例4. 己知m、u, α = 45°, 杆重不计,均质圆盘沿斜面纯滚,试求系统的动能。 m m u α O × × × 例5.已知滑块A重W，速度为v；均质杆AB重P，长L，与滑块在A点铰接，角速度为ω，求当杆与铅垂线夹角为 时，系统的动能。 解:C点速度 滑块A的动能： 杆AB的动能： 系统总动能： 习题: 10.2,10.3; 10.5，10.6 欢迎光临! 理论力学 动能定理(一) 理论力学 11 动能定理 11.1 力的功 11.1.1 力的功 11.1.2 常见力的功 11.2 质点的动能定理 11.3 质点系的动能定理 11.3.1 质点系的动能 11.3.2 质点系的动能定理 11.4 普遍定理的综合应用 11 动能定理 11.1 力的功 11.1.1 力的功 力的功(work)表示力在一段路程上对物体作用的累积效应,它包含力和路程两个因素。 ■ 常力在直线运动中的功 F s v 作用于质点的常力在直线运动中的功定义为 力的功是代数量。 变力在曲线运动中的功 作用于质点的任意力F在微路程ds上所做的功称为元功，记为 变力在任意一段曲线路程上的功则为 在直角坐标系中的解析表达式为 ■ 合力的功 设作用于质点的合力 FR = ∑Fi, 则合力的功 即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代数和。 11.1.2 常见力的功 ■ 重力的功 ? ? ? y x z M1(x1,y1,z1) M2(x2,y2,z2) mg 质点的重力的功 若一质点系从位置1→位置2,则重力所做的总功为 式中m =∑mi, zC1和zC2分别为质点系在位置1和位置2的重心的z坐标。若令h =∣zC1－zC2∣表示重心下降或上升的高度,则有 W = ±mgh 即重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。 重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。 ■ 弹性力的功 ? r F M O r1 r2 设质点M受MO方向的弹性力作用，当质点的矢径为r时，在弹性限度内弹性力可表示为： 这里, k 为弹簧的刚度系数, l为弹簧的原长, r/r为沿质点矢径方向的单位矢量。 F =－k(r－l)er er=r/r =－k(r－l)r/r 弹性力的元功为 F =－k(r－l)r/r 因为 r ·dr = d(r ·r / 2) δW =－k(r－l)dr = d(r2/2) = rdr 式中 λ1 = r1－l , λ2 = r2－l 分别为始末位置弹簧的变形。由此可知, 弹性力的功等于弹簧刚度与弹簧在始末位置变形的平方差之乘积的一半。 特别要注意, 弹性力的功, 当初变形大于末变形时为正, 初变形小于末变形时为负,而与弹簧实际受拉伸还是压缩无关。 作用于转动刚体的力的功 设力F 作用于作定轴转动刚