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由虚功原理可得 x y FN F A ○ B E C K D FP FQ α 同理可得 x y FN F A ○ B E C K D FP FQ α 例7.由两杆组成的几何可变结构如图所式。A是铰链，B是辊轴。在铰链C上挂一重物W，质量为m。轴B上系一弹簧，弹簧系数为k，原长为AD（即B与A重合时，弹簧不变形）。不计杆的重量，求系统平衡时角θ的大小。 D A B C l l W θ k θ θ 写成直角坐标投影式 解：在此系统中主力有重力W=mg和弹簧力F，其大小 设C点的虚位移为δrC ，B点的虚位移为δrB 。根据虚位移原理，平衡条件可写成矢量式 B A y yC xB C W=mg F=kxB δyC δxB θ 现用解析法建立δyC与δxB的关系。 设系统的广义坐标为θ，则由图可知： 求变分： B A y yC xB C W=mg F=kxB δyC δxB θ 代入 B A y yC xB C W=mg F=kxB δyC δxB θ (b) 显然有 B A y yC xB C W=mg F=kxB δyC δxB θ 此为一平衡位置。 因广义坐标的独立变分 为任意微小量 故 由 当 mg 4kl 时，此平衡位置不存在。 B A y yC xB C W=mg F=kxB δyC δxB θ 另一平衡位置为 习题: 12.1,12.5，12.6,12.9 * * * 欢迎光临! 理论力学 理论力学 虚位移原理(二) * 虚功：力虚位移中所作的功称为虚功，记为 。 理想约束 如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。 质点系受有理想约束的条件： 13.2 虚功原理 * 理想约束的典型例子如下： 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动 2、光滑铰链 1、光滑支承面 具有定常、理想约束的完整系统平衡的充分必要条件是 : 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上的元功总和为零。 上述结论称为虚位移原理(principle of virtual displacement),其表达式为 虚位移原理是分析静力学的基本原理,因为力在虚位移上的功称为虚功,故虚位移原理也称为虚功原理(principle of virtual work)。 ■ 虚功原理 关于虚功原理与刚体静力学平衡条件的两点说明: 虚功原理常常被认为是更普遍的原理; 虚功原理的基本思想是一种变分原理的思想。 11.4.3 虚位移原理的应用 虚位移原理特别适合于解以下几类静力学问题: 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力； 求平衡构架内二力杆的内力。 * 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束, 代之以约束力, 并将该约束力当作主动力看待。此外, 非理想约束的约束力(例如摩擦力)必须全部视为主动力, 并计入其虚功。 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统,当有 摩擦力存在时, 必须将摩擦力视为主动力,并计 入其虚功。 O A B ○ ○ D M F1 F2 例1 图示曲柄连杆机构, 已知F1 、 F2 、θ和φ, OA=AD=R, 试求平衡力矩M。 解: A、B和D的虚位移如图示。由虚功原理可得 因 O A B ○ ○ D θ M F1 F2 B 30° 60° A E C D l F2 F1 例2 小球D和E重F1和F2 ,可分别沿固定的光滑金属丝AC和BC滑动, 二球用一根不可伸长的绳连接,如图所示,试求平衡时的 角。 提示: 此题是应用虚功原理求系统的平衡位置,考虑如何将二主动力的虚功表示为某个独立变分(例如 )的函数。 解: 取y轴铅直向上,由虚功原理有 y 而 同理可得 30° 60° A B E C D l α F2 F1 点评: 对于理想约束系统,在机构的平衡问题中求主动力之间的关系及求系统的平衡位置时, 应用虚功原理, 由于仅涉及主动力, 因而计算比较简洁。 应用虚功原理的关键是将虚功方程左边表示成独立虚位移上的虚功总和,为此必须首先确定各个虚位移之间的关系, 常用的方法有几何法和解析法。 A ○ ○ ○ ○ C B D F 例3 图示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。试求:(1)支座B 的约束反力;(2)DB 杆的内力。 提示: 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束,代之以约束力,并将该约束力当作主动力看待。 解: (1) 铰B解除约束,代之以约束反力FB, B和D的虚位移如图示。由虚功原理可得 而 A ○ ○