如何计算π的值(MATLAB).docVIP

如何计算的值 1、蒙特卡罗（Monte Carlo）法 思想： 取一正方形A，以A的一个顶点为圆心，A的边长为半径画圆，取四分之一圆（正方形内的四分之一圆）为扇形B。已知A的面积，只要求出B的面积与A 的面积之比，就能得出，再由B的面积为圆面积的四分之一，利用公式即可求出的值。因此，我们的目的就是要找出的值。 可以把A和B看成是由无限多个点组成，而B内的所有点都在A内。随机产生个点，若落在B内的有个点（假定A的边长为1，以扇形圆心为坐标系原点。则只要使随机产生横纵坐标、满足的点，就是落在B内的点），则可近似得出的值，即，由此就可以求出的值。 程序（1）： i=1;m=0;n=1000; for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2=1 m=m+1; end end p=vpa(4*m/n,30) 程序运行结果： p = 3.14000000000000000000000000000 2、泰勒级数法 思想： 反正切函数的泰勒级数展开式为： 将代入上式有 . 利用这个式子就可以求出的值了。 程序（2）： i=1;n=1000;s=0; for i=1:n s=s+(-1)^(i-1)/(2*i-1); end p=vpa(4*s,30) 程序运行结果： p = 3.14059265383979413499559996126 当取的值为10000时，就会花费很长时间，而且精度也不是很高。原因是时，的展开式收敛太慢。因此就需要找出一个使得收敛更快。 若取，则我们只有找出与的关系，才能求出的值。 令，， 根据公式有，则有。 所以可以用来计算的值。 程序（）： i=1;n=1000;s=0;s1=0;s2=0; for i=1:n s1=s1+(-1)^(i-1)*(1/2)^(2*i-1)/(2*i-1); s2=s2+(-1)^(i-1)*(1/3)^(2*i-1)/(2*i-1); end s=s1+s2; p=vpa(4*s,30) 程序运行结果： p = 3.14159265358979323846264338328 显然，级数收敛越快，取同样的值可以得到更高的精度。以同样的方法，能得出，程序和上面的一样。这样的近似值可以精确到几百位。 3、数值积分法 思想： 半径为1的圆的面积是。以圆心为原点建立直角坐标系，则圆在第一象限的扇形是由与轴，轴所围成的图形，扇形的面积。只要求出扇形的面积，就可得出的值。而扇形面积可近似等于定积分的值。 对于定积分的值，可以看做成曲线与轴，，所围的曲边梯形的面积。把分成等分，既得个点，，，组成个小区间，每一个小区间与轴，，所围成的图形是一个小曲边梯形。而梯形的面积计算公式是，对于第个小曲边梯形有上底为，下底为。所有小梯形的高都为。所以第个小曲边梯形的面积为。曲边梯形的总面积即定积分的值就是所有小梯形的面积总和。 为了避免根号，我们也可以利用积分 得出的值。 我们可以利用对求曲边梯形的面积来得出定积分的值，从而得出的值。 程序（3）： a=0;b=1;s=0;n=1000;i=0; h=(b-a)/n; for i=0:(n-1) xi=a+i*h; yi=1/(1+(xi)^2); xj=a+(i+1)*h; yj=1/(1+(xj)^2); s=s+(yi+yj)*h/2; end p=vpa(4*s,30) 程序运行结果： p = 3.14159248692312775830259852228 对于数值积分法求值，以上程序简洁明了。我们也可以以做循环，用一条语句求出值。 程序（3’）： s=0;n=1000; for x=0:(1/n):(1-(1/n)) s=s+(1/(1+x^2)+1/(1+(x+(1/n))^2))*(1/n)/2; end p=vpa(4*s,30) 程序运行结果： p = 3.14159248692312775830259852228 用以上三种方法求，都取1000时，泰勒级数法求，得到的近似值精度最高。