矩阵与其运算习题课.pptVIP

* * * * * * * * * * * * 第二章 矩阵 1. 矩阵的定义 由m?n个数 aij ( i=1,2,···,m;j=1,2,···,n )排成的m行n列的数表: 称为m行n列的矩阵. 简称 m?n 矩阵.简记为: 这m?n个数aij称为矩阵A的元素. A=Am?n=( aij )m?n=( aij ). 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 一、基本概念 2. 特殊矩阵 (1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n阶方阵. 也可记作An, 的方阵, 称为对角矩阵 (2) 形如 (或对角阵), 其中?1, ?2, ···, ?n不全为零. 记作 ding(?1, ?2, ···, ?n) (3) 如果En=diag(?1, ?2, ···, ?n)=diag(1,1,···,1), 则称En为(n阶)单位矩阵, 或简称单位阵. 简记为E. (4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, m?n 阶零矩阵记作Om?n或O. (5) 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量). 2. 两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij = bij ( i=1,2,···,m; j=1,2,···, n ) 则称矩阵A与B相等, 记作A=B. 1. 两个矩阵的行, 列数对应相等, 称为同型矩阵. 3. 同型矩阵和相等矩阵 4. 矩阵的加法 设有两个同型的 m?n 矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即 矩阵加法的运算规律 (1) 交换律: A+B=B+A. (2) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C). 矩阵A=(aij), 称 –A=(–aij)为矩阵A的负矩阵. A+(–A)=O, A–B=A+(–B). 5. 数与矩阵相乘 数?与矩阵A=(aij)的乘积定义为(?aij), 记作?A或A?, 简称为数乘. 设A, B为同型的m?n 矩阵, ?, ?为数: (1) (??)A = ?(?A). (2) (?+?)A = ?A+?A. (3) ?(A+B) = ?A+?B. 数乘矩阵的运算规律 矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算. 设A=(aij)是一个m?s 矩阵, B=(bij)是一个s?n 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个m?n矩阵, 其中 6. 矩阵与矩阵相乘 ( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作C=AB. 矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律: (AB)C=A(BC); (2) 分配律: A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; (3) ?(AB)=(?A)B=A(?B), 其中?为数; (4) Am?nEn= EmAm?n= A; 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT. 7. 转置矩阵 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (?A)T = ?AT; (4) (AB)T = BTAT; 转置矩阵的运算性质 8. 方阵的运算 方阵的幂满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m为正整数. 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k次幂, 定义为 A1 = A, Ak+1 = AkA1, ( k为正整数 ) 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA . 方阵行列式的运算性质 (1) | AT | = | A |; (2) | ?A | = ?n| A |; (3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |. 9. 一些特殊的矩阵 设A为n 阶方阵: (1) 如果 AT = A, 称A为对称矩阵; (2) 如果 AT = –A, 称A为反对称矩阵; (3) 如果 AAT = ATA = E, 称A为正交矩阵; (6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角矩阵; (7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵A 的伴随矩阵. 性质: AA* = A*A = | A | E. 对于n 阶方阵A