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因此,均方误差由点估计的方差与偏差的平方两部分组成。如果估计是无偏估计,则此时用均方误差评价点估计与用方差是完全一样的,这也说明了用方差考察无偏估计有效性是合理的。当估计不是无偏估计时,就要看其均方误差,即不仅要看其方差大小,还要看偏差大小。 例1 设 总体 , 为样本. 则作为方差 的估计量, 的均方误差为 的均方 误差为 . 则 的均方误差比 的小. 而 的均方误差是 ?????? 证:?易知 ????由本例可知,从无偏性角度考察,用 估计方差是好的,但从均方意义上讲用 估计方差更好。它们从不同侧面去考察估计量的好坏,至于具体采用什么估计则需要根据实际问题来定。 的均方误差是 例2 前面我们已经指出对均匀总体 ,由 θ的最大似然估计得到的无偏估计是 , 它的均方误差 。 现在我们考虑θ的形如 的估计, 其均方误差为 用求导的方法不难求得当 上述均方误差达到最小,且 这表明 虽是θ的有偏估计,但其均方误差 有偏估计 优与无偏估计 。 所以在均方误差的标准下, §6.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数, 不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用什么标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 相合性 (3) 有效性 (2) 无偏性 估计量。若对于任意的? ? ? ,当n? ?时, 定义 设 是总体参数? 的 则称 是总体参数? 的相合估计量。 依概率收敛于? , 即 相合估计量仅在样本容量n 足够大,才显示其优越性。 相合性 ) , , , ( ? ? 2 1 n X X X L q q = 0 ) ) ? ( lim = 3 - ¥ ? e q q P n 关于相合性的常用结论 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合估计。 由大数定律证明 矩法得到的估计量一般为相合估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有相合性 定理 1 设 为 的一个估计量。 如果 则 为 的相合估计。 例1 为常数 则 是? 的相合估计。 证明: 经过简单计算可得 于是 所以 是 ? 的相合估计量,证毕。 证明 由大数定律知, 例2 由大数定律知, 由定理1可知x(n)是θ的相合估计。 定理2 若 分别是 的相合估计, 是 连续函数,则 有 是 的相合估计。 例5 设一个试验有三种可能结果,其发生概率分别是 , 现做了n次试验,观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3,可以采用频率替换方法估计θ。由于可以有三个不同的θ的表达式: 从而可以给出θ的三种不同的频率替换估计,分别是 。 分别是p1 ,p2 ,p3相合估计。 定义 设 是总体X 的样本 是总体参数? 的估计量 则称 是? 的无偏估计量,否则称为有偏估计。 存在, 都有 且对于任意 无偏性 证明: 不论 X 服从什么分布, 是 的无偏估计量。 证 是总体X 的样本, 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 因而 由于 特别地, 样本二阶原点矩 是总体二阶 的无偏估计量。 原点矩 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量 样本均值 例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在, 是 X 的一个样本, n 1, (1) 不是 D( X ) 的无偏估计量; (2)
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