7.2点估计的评价标准概率论与数理统计习题和课件历史上最好的概率论与数理统计.ppt

因此，均方误差由点估计的方差与偏差的平方两部分组成。如果估计是无偏估计，则此时用均方误差评价点估计与用方差是完全一样的，这也说明了用方差考察无偏估计有效性是合理的。当估计不是无偏估计时，就要看其均方误差，即不仅要看其方差大小，还要看偏差大小。 例1 设 总体 , 为样本. 则作为方差 的估计量, 的均方误差为 的均方 误差为 . 则 的均方误差比 的小. 而 的均方误差是 ?????? 证：?易知 ????由本例可知，从无偏性角度考察，用 估计方差是好的，但从均方意义上讲用 估计方差更好。它们从不同侧面去考察估计量的好坏，至于具体采用什么估计则需要根据实际问题来定。 的均方误差是 例2 前面我们已经指出对均匀总体 ，由 θ的最大似然估计得到的无偏估计是 ， 它的均方误差 。 现在我们考虑θ的形如 的估计， 其均方误差为 用求导的方法不难求得当 上述均方误差达到最小,且 这表明 虽是θ的有偏估计，但其均方误差 有偏估计 优与无偏估计 。 所以在均方误差的标准下， §6.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数, 不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用什么标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 相合性 (3) 有效性 (2) 无偏性 估计量。若对于任意的? ? ? ，当n? ?时, 定义 设 是总体参数? 的 则称 是总体参数? 的相合估计量。 依概率收敛于? , 即 相合估计量仅在样本容量n 足够大，才显示其优越性。 相合性 ) , , , ( ? ? 2 1 n X X X L q q = 0 ) ) ? ( lim = 3 - ￥ ? e q q P n 关于相合性的常用结论 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合估计。 由大数定律证明 矩法得到的估计量一般为相合估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有相合性 定理 1 设 为 的一个估计量。 如果 则 为 的相合估计。 例1 为常数 则 是? 的相合估计。 证明： 经过简单计算可得 于是 所以 是 ? 的相合估计量，证毕。 证明 由大数定律知, 例2 由大数定律知, 由定理1可知x（n）是θ的相合估计。 定理2 若 分别是 的相合估计， 是 连续函数，则 有 是 的相合估计。 例5 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别是 ， 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1，n2，n3，可以采用频率替换方法估计θ。由于可以有三个不同的θ的表达式： 从而可以给出θ的三种不同的频率替换估计，分别是 。 分别是p1 ，p2 ，p3相合估计。 定义 设 是总体X 的样本 是总体参数? 的估计量 则称 是? 的无偏估计量，否则称为有偏估计。 存在, 都有 且对于任意 无偏性 证明: 不论 X 服从什么分布, 是 的无偏估计量。 证 是总体X 的样本, 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 因而 由于 特别地, 样本二阶原点矩 是总体二阶 的无偏估计量。 原点矩 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量 样本均值 例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在, 是 X 的一个样本, n 1， (1) 不是 D( X ) 的无偏估计量; (2)