齐次线性方程组解的结构.pptVIP

一.　齐次线性方程组解的结构 湘潭大学数学学院 岳慧 * 1.　解向量 齐次线性方程组　 若 为方程 的解，则 称为方程组的解向量. 湘潭大学数学学院 岳慧 * （1）若　　　　 为 　　的解，则 也是 　　的解. 　　　 也是 的解． （2）若 　 为 　 的解，k为实数，则 推广： 都是方程组的解 齐次线性方程组的解的线性组合 湘潭大学数学学院 岳慧 * 2.　基础解系　 当 时，有无穷解, 其解向量为 n 维向量. 故这无穷个解必存在一个极大线性无关组 定义1.　齐次线性方程组解的集合的一个极大线性 无关组，称为该方程组的一个基础解系. 即方程组的通解就是 湘潭大学数学学院 岳慧 * 定理4.6.2.　当 r (A) n 时，齐次线性方程组的基础解系含有 n-r 个解向量. 　　 例 求解齐次线性方程组 (1) 对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形 解 (2) 由标准阶梯形得到方程组为 (3) 由此得到方程组的解： (4) 写成向量形式为: 其中 任意取值。 故原方程组的通解为 例 求解线性齐次方程组 解 初等行变换 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 由于 得到方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 其中 为任意常数。 例 1 · 求下面齐次线性方程组的一个基础解系 。 故原方程组的通解为 例 2 · 求下面齐次线性方程组的一个 基础解系 。 * 齐次线性方程组求全部解的图示： 系数矩阵 初等行变换 阶梯形矩阵 非零行数 = 未知量个数 ？ 是 方程组有唯一零解 否 定自由 未知量 初等行 变换 简化 阶梯形矩阵 方程组有无穷多解 可写出一般解 基础解系 自由未知 量适当取值 写出全部解 线性组合 习题4.6 3(2)