自动控制理论课件3-4.ppt

3.5 线性定常系统的稳定性分析 3.5.2 线性系统稳定的数学条件（充要条件） 3.5.3 稳定性的代数判据 1.稳定的必要条件 2.劳斯稳定判据 关于劳斯判据的几点说明 3.赫尔维茨（Hurwitz）判据 4.林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据 5. 代数稳定判据的应用 3.5.1 稳定性的基本概念 如果系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的，或简称系统是稳定的； 如果系统围绕平衡点作等幅震荡，或偏离平衡点的距离趋于某一非零值，则称系统是临界稳定的； 如果系统偏离平衡点越来越远，则系统是不稳定的。 稳定 不稳定 临界稳定 一个线性定常系统工作在某平衡状态，在受到有界扰动后，偏离了平衡状态，而当扰动消失后 大范围稳定： 系统受到扰动后，不论初始偏差多大，系统都是稳定的，称为大范围稳定（全局稳定）的系统。 小范围稳定： 当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才是稳定的，称为小范围稳定（局部稳定）的系统。 若线性系统是稳定的，则一定是大范围稳定的。 稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。 思路： 设线性系统的初始条件为零，作用一个理想单位脉冲δ(t)，这时系统的输出响应为单位脉冲响应c(t)。这就相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t→∞时，有c(t)→0，则系统是稳定的。 设线性定常系统的传递函数为： 输入信号： 输出响应： 若系统的特征根中有一个或一个以上正实部根，则t→∞时，c(t)→∞，系统是不稳定的； 线性系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。 分析c(t)→0的条件： 若系统特征根中有一个或一个以上零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则t→∞时，c(t)趋于常数或趋于等幅正弦振荡，系统是临界稳定的，属不稳定系统； 当且仅当系统特征根全部具有负实部，才有t→∞时，c(t)→0，即系统是稳定的。 根据上面介绍的充要条件判稳，需要知道系统全部特征根，对于高阶系统，求特征根是困难的。 问题： 稳定的必要条件 劳斯判据（充要条件） 赫尔维茨判据（充要条件） 林纳德-奇帕特判据（充要条件） 代数判据是直接根据闭环特征方程的系数判断系统的稳定性，避免了求解闭环特征根的困难。 1）全部系数 都不等于零； 设线性系统的特征方程为： 由代数方程根和系数的关系： 全部特征根具有负实部的必要条件： 2）全部系数 符号必须相同。 一阶和二阶系统只要满足必要条件一定是稳定的。 注意： 不满足必要条件的系统一定是不稳定的，但是满足必要条件的系统并不都是稳定的。 例如：系统的特征方程为 有系数为负值，系统不稳定。 有系数为零，系统不稳定。 设线性系统的特征方程为： 第1步 根据特征方程式的系数，可建立劳斯表如下： 第2步 计算劳斯表： 若劳斯表中第一列系数全部为正，则所有闭环极点均位于左半s平面，系统稳定； 若劳斯表第一列系数有负数或零，则系统是不稳定的，说明有闭环极点位于右半s平面或虚轴上； 位于右半s平面的闭环极点数正好等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。 第3步 根据劳斯表中第一列系数的符号判稳，并确定正实部根的个数。 提醒： 若特征方程D(S)=0中系数的下标表示方法采用 则劳斯表计算公式的系数下标应作相应调整。 例 设线性系统特征方程式为： 试判断系统的稳定性。 解： 建立劳斯表： 劳斯表中第一列系数符号改变2次，系统是不稳定的，且有2个正实部根。 劳斯判据中的两种特殊情况 ： 特殊情况1 劳斯表任一行第一列系数为零，该行其余系数不全为零。 劳斯表某行第一列系数为零，则劳斯表无法计算下去，这时可以断定系统不稳定，但是无法判断系统在右半s平面的极点个数。 处理方法： 可以用无穷小的正数ε代替0，接着进行计算，劳斯判据结论不变。 方法1 用一个因子 乘原特征方程（其中 为任意正数），得到新的方程，再重新列劳斯表。 方法2 用1/s 代替原特征方程中的s，得到新的方程，再重新列劳斯表。 方法3 例3-9 设线性系统特征方程式为： 试判断系统的稳定性。 解： 建立劳斯表： (1) 由于劳斯表中第一列系数出现零，系统是不稳定的。 (2) 符号改变2次，有2个正实部根。 方法1 例 设线性系统特征方程式为： 试判断系统的稳定性。 解： 因方程中缺项，其劳斯表为： (1) 劳斯表中第一列系数出现零，系统是不稳定的。 (2) 符号改变2次，有