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小学数学专业基础知识培训 2013年5月 “要给学生一杯水，教师就要有一桶水” （桶论） “活水论” 教师要有丰厚的知识底蕴 从一年级下册到六年级下册，人教版课标教材在每一册的最后一个单元都编排了“数学广角”。 跟以往义务教育教材相比，这部分内容是新增加的，这是新课标教材的一大亮点。 整套教材“数学广角” 的编排 基本类型 植树问题 行程问题 鸡兔同笼问题 抽屉原理 称球问题 求平均数问题 统筹问题 立体图形 逻辑推理 鸡兔同笼问题 “鸡兔同笼”是古代著名的数学趣题 解决策略: （1）列表法 （2）假设法※ （3）方程法 （4）二元一次方程组（初中八年级） 例 鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。笼中鸡兔各有多少只？ 列表法 鸡兔同笼问题假设法 例1：今有鸡、兔共居一笼，已知头共35个，脚共94只。问鸡、兔各有多少只？ 分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 解法一假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 解法二假设全是兔，那么相应的脚的总数应是4×35=140只，与实际相比，增加了140－94=46只。增加的原因是把一只鸡当作一只兔时，要增加4－2=2只脚。所以鸡有46÷2=23只，兔有35－23=12只。 答：鸡有23只，兔子有12只。 小结 运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。 概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是： 鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数） 兔数＝鸡兔总数－鸡数 方程法 例 鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。笼中鸡兔各有多少只？ 解：设有X只兔，那么就有（8-X）只鸡。 鸡兔共有26只脚，就是： 4X+2(8-X)=26 2X+16=26 X=5 8-5=3(只） 列方程组 例 鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。笼中鸡兔各有多少只？ 解：设有X只兔，有Y只鸡。则 X+Y=8 4X+2Y=26 解方程组得X=5,Y=3 相关习题 面值是2元、5元的人民币共27张，合计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值5元的人民币当作一张面值2元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 相关习题 50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船和小船各几只？ 小明参加猜谜比赛，共20道题，规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）。小明共得60分，他猜对了几道？ 逻辑推理问题 解题策略 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法、图表法。 简单推理 [ 例1 ] 小兰、小梅、小青三人进行跑步比赛，赛后小兰说：“我不是第二名。”小梅说：“我不是第一名。”小青说：“我前面没有人。” 分析：我们可以用填表的方法找答案，具体方法如下： 简单推理 例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？ 分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。(排除法） 从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。 从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。 例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？ 分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时