有限元分析的力学基础.ppt

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3.2.5 单元的刚度矩阵的性质 a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等,即,根据是反力互等定理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。 整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块 ,称为主子块,其余 为副子块。 a. 中主子块 由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得,即 b. 当结点i、 j为单元e的相关结点时, 中副子块 为该单元e相应的副子块,即 。 c. 当结点i、 j为非相关结点时, 中副子块 为零子块,即 。 d. 仅与各单元的几何特性、材料特性,即A、I、l、E等因素有关。 e. 为对称方阵, f. 为奇异矩阵,其逆矩阵不存在,因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。 g. 为稀疏矩阵,整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关,非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内,称为带状分布规律,见图a。在包括对角线元素在内的区域中,每行所具有的元素个数叫做把半带宽,以d表示。 最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 与结点自由度数的乘积,结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储,见图b。半带宽越窄,计算机的存储量就越少,而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。 图 整体刚度矩阵存储方法 h. 整体刚度矩阵稀疏阵。 故整体刚度矩阵不能求逆,必须作约束处理方能正确地将结点位移求出,进而求出结构的应力场。 (a) 带状分布规律 (b) 带状存储 约束处理及求解 约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式 时,并未考虑支承条件(约束),也就是说,将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵,因此,无法求解。可以参照第 2 章的原则,结合实际工程结构引入支承条件,即对结构原始平衡方程式 做约束处理。 约束处理后的方程称为基本平衡方程。 统一记为 约束处理方法 约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。 1 填0置1法 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1, 相应行和列上的其它元素均改为0。 同时,所在同一行上的载荷分量替换成0,则有 1 填0置1法 也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为 0 的行和列划掉,包括相关的所在行的位移和载荷向量。 2 乘大数法 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N,一般取 。同时,将相应同一行上的载荷分量替换成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移(包括零位移)。 补充实例(势能原理的应用) 3根弹簧弹性系数分别为k1、k2、k3,在弹簧2末端施加一个F的力,利用势能原理推导系统的刚度矩阵。 第三章 几个特殊问题 实际问题中,经常有一些比较典型的情况,需要有针对性的进行处理,如 厚度较薄的平面问题 厚度较厚的等截面平面应变问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题,严格地说,任何一个弹性体都是空间物体,一般的外力都是空间力系,因而任何实际问题都是空间问题,都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是,如果所考虑的弹性体具有特殊的形状,并且承受的是特殊外力,就有可能把空间问题简化为近似的平面问题,只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。 平面应力问题 平面应变问题 3.1平面应力问题 几何形状特征:物体在一个坐标方向(例如z)的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸,如图所示的薄板。 载荷特征:在薄板的两个侧表面上无表面载荷,作用于边缘的表面力平行于板面,且沿厚度不发生变化,或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面,体积力亦平行于板面且沿厚度不变。 几何方程 物理方程 平衡方程 考察应力边界特点 注意: 3.2平面应变问题 几何形状特征:物体沿一个坐标轴

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