张量弹性力学2.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.3 应变张量 微小六面体单元的变形 B点位移分量 D点位移分量 A点位移分量 ∠xOy的改变量: 1.3 应变张量 变形后AB边长度的平方: M点沿X方向上的线应变: (a) (b) (c) 代入(a)得: 略去高阶微量 同理，M点沿Y方向上的线应变: 1.3 应变张量 同理: ∠xOy的改变量，即剪应变: 1.3 应变张量 对角线AC线的转角: 刚性转动 1.3 应变张量 (1.44) 1).一点应变状态 工程应变分量： (几何方程/柯西几何关系) 1.3 应变张量 (1.45) 1).一点应变状态 受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。 定义: 应变张量: (1.46) 1.3 应变张量 2).主应变及其不变量 由全微分公式: M点的位移分量 N点的位移分量 表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。 1.3 应变张量 在主应变空间中: 主平面法线方向的线应变 主应变: 1.3 应变张量 类似于应力张量: eij: 二阶对称张量。主应变e1, e2, e3 满足： ei3 -I1ei2 -I2ei -I3 =0 I1、I2 、I3 为应变张量不变量。 其中: (1.47) (1.48) 平均正应变: 1.3 应变张量 偏量应变张量: (1.52) eij 的主轴方向与eij 的主方向一致，主值为: e1= e1-e ， e2= e2-e ， e3= e3-e 满足三次代数方程式： (1.50) (1.51) I2’应用较广,又可表达为: 1.3 应变张量 等效应变(应变强度): (1.54) 等效剪应变(剪应变强度): (1.55) 1.4 应变速率张量 一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则: 设应变速率分量为: 质点的运动速度分量 1.4 应变速率张量 线应变速率 在小变形情况下，应变速率分量与应变分量之间存在有简单关系: 剪应变速率 1.4 应变速率张量 在小变形情况下的应变速率张量: (1.56) 可缩写为 在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。 1.4 应变速率张量 应变增量: 应变增量由位移增量微分得： 由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。 (1.57) 应变微分由两时刻应变差得： 泰勒级数展开 高阶微量 忽略高阶微量 1.5 应力和应变的Lode参数 一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） : 任一斜面上应力位于阴影线内 ms=Q2A/Q1A =(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3 A O s t s3 s1 s2 O3 O2 O1 Q3 Q2 Q1 如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在?-?平面内绘出相应的应力圆。 1.5 应力和应变的Lode参数 一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） : A O s t s3 s1 s2 O3 O2 O1 Q3 Q2 Q1 (1.61) 1.5 应力和应变的Lode参数 一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） : A O s t s3 s1 s2 O3 O2 O1 Q3 Q2 Q1 (1.63) 式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量?、?一定落在分别以(?1-?2)／2、 (?2-?3)／2 、 (?3- ?1)／2为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。 1.5 应力和应变的Lode参数 若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压)，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。 应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径)则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 1.5 应力和应变的Lode参数 二、应力Lode参数: 几何意义:应力圆上Q2A与Q1A之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。 球