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第二讲 基本概念 一、总体、样本和统计模型 二、统计量及其分布 * 一、总体,样本和统计模型 二、统计量及其分布 例1 总体: 研究对象的全体, 如例1中的这批产 通常用 等表示。 产品就构成总体。 (Population) 个体: 总体中的每个对象, 如例1中的每个 产品。 样本的实现称为样本 的一组观察值(Observation or data), 记为 样本: (Sample) 今后,为了方便若不加特别声明,用 样本空间: (Sample Space) 样本所有可能的取值构成的空间 在统计中,对总体的推断,实际上是推断 总体的分布,即确定总体的分布。为此,我 个分布最适合还得通过统计推断来确定,因 们可以根据对总体了解程度,假设总体的分 布属于某个分布族 至于其中哪一 此往往将 称为总体分布族。 其中 参数空间。 (Parameter Space) 如例1中,总体分布族为 , 其中 设总体分布族为 , 总体的分布属于此分布族, 还需经过统计推断。 推断总体的分布,实际 上就是确定参数 , 为此,需抽取样本。 样本来源于总体,它应当包含参数的所有 相关信息,但观察值呈现为一堆杂乱无章 数据,故需对数据进行加工或压缩,提取 我们仅知道 但哪个最合适 有关参数的信息,而剔除无关的信息,这在 统计上就反映为构造样本的已知函数,即 统计量 (Statistic)。 例2 的函数 可能对应相同的T值,这样实际上是对样本 起到了加工或压缩的作用。 1. 统计量 定义1 知的参数。 样本均值(Sample Mean): 样本方差(Sample Variance): 常用统计量(Statistic): 样本标准差(Sample Standard Deviation): 样本矩(Sample Moment) 2. 充分统计量 统计量既然是对样本的加工或压缩,在这 个过程中可能有损失有关参数的一部分信息, 现在问题是在这个过程中是否存在某些统计 量,既起到压缩作用,又不损失参数的信息, 这样的统计量称为充分统计量。 例3 续例2 定义2 设总体分布族为 , 充分统计量(Sufficient Statistics) 一般情况下,利用条件分布证明统计量的 充分性是比较困难的。 但存在证明充分性的 一个充分必要准则,这是下面的因子分解定 理(Factorization theorem)。 是 统计量。 如果在给定 的条件下, 的 条件分布与参数 无关, 则称统计量 是 参数 的 定理1 设总体分布族为 , 例4 3. 抽样分布 常见分布的特征函数: 特征函数 称函数 随机变量, 设 为 特征函数。 二项分布 : Poisson分布 : 正态分布 : 特征函数的性质: (1)有界性 对任意 ,有 。 (2)设 ,其中 为常数,则 (3)若 与 相互独立,则有 (4)若 存在,则 存在,且 (5)特征函数与分布函数相互唯一确定。 三大分布 分布 设随机变量 相互独立且同服从 标准正态分布 , 称随机变量 所服从的分布为自由度是 的 分布, 记为 ~ 定理2 体 , 假设简单样本 来自正态总 则有 ~ 定理3 设 , ~ 则 (1) 的特征函数为 (2) 定理4 设 ~ ~ 且相互独立, 则 ~ 分布 所服从的分布为自由度是 的 分布, 记为 ~ 设随机变量 ~ ~ 相互独立, 且 与 则称随机变量 *
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