北航硕士研究生数理统计A1课件02.ppt

第二讲 基本概念 一、总体、样本和统计模型 二、统计量及其分布 * 一、总体，样本和统计模型 二、统计量及其分布 例1 总体： 研究对象的全体， 如例1中的这批产 通常用 等表示。 产品就构成总体。 (Population) 个体： 总体中的每个对象， 如例1中的每个 产品。 样本的实现称为样本 的一组观察值（Observation or data）, 记为 样本： （Sample） 今后，为了方便若不加特别声明，用 样本空间： （Sample Space） 样本所有可能的取值构成的空间 在统计中，对总体的推断，实际上是推断 总体的分布，即确定总体的分布。为此，我 个分布最适合还得通过统计推断来确定，因 们可以根据对总体了解程度，假设总体的分 布属于某个分布族 至于其中哪一 此往往将 称为总体分布族。 其中 参数空间。 （Parameter Space） 如例1中，总体分布族为 ， 其中 设总体分布族为 ， 总体的分布属于此分布族， 还需经过统计推断。 推断总体的分布，实际 上就是确定参数 ， 为此，需抽取样本。 样本来源于总体，它应当包含参数的所有 相关信息，但观察值呈现为一堆杂乱无章 数据，故需对数据进行加工或压缩，提取 我们仅知道 但哪个最合适 有关参数的信息，而剔除无关的信息，这在 统计上就反映为构造样本的已知函数，即 统计量 （Statistic）。 例2 的函数 可能对应相同的T值，这样实际上是对样本 起到了加工或压缩的作用。 1. 统计量 定义1 知的参数。 样本均值（Sample Mean）： 样本方差（Sample Variance）： 常用统计量(Statistic)： 样本标准差（Sample Standard Deviation）： 样本矩（Sample Moment） 2. 充分统计量 统计量既然是对样本的加工或压缩，在这 个过程中可能有损失有关参数的一部分信息， 现在问题是在这个过程中是否存在某些统计 量，既起到压缩作用，又不损失参数的信息， 这样的统计量称为充分统计量。 例3 续例2 定义2 设总体分布族为 , 充分统计量（Sufficient Statistics） 一般情况下，利用条件分布证明统计量的 充分性是比较困难的。 但存在证明充分性的 一个充分必要准则，这是下面的因子分解定 理（Factorization theorem）。 是 统计量。 如果在给定 的条件下， 的 条件分布与参数 无关， 则称统计量 是 参数 的 定理1 设总体分布族为 , 例4 3. 抽样分布 常见分布的特征函数： 特征函数 称函数 随机变量, 设 为 特征函数。 二项分布 ： Poisson分布 ： 正态分布 ： 特征函数的性质： （1）有界性 对任意 ，有 。 （2）设 ，其中 为常数，则 （3）若 与 相互独立，则有 （4）若 存在，则 存在，且 （5）特征函数与分布函数相互唯一确定。 三大分布 分布 设随机变量 相互独立且同服从 标准正态分布 ， 称随机变量 所服从的分布为自由度是 的 分布， 记为 ~ 定理2 体 ， 假设简单样本 来自正态总 则有 ~ 定理3 设 ， ~ 则 （1） 的特征函数为 （2） 定理4 设 ~ ~ 且相互独立， 则 ~ 分布 所服从的分布为自由度是 的 分布， 记为 ~ 设随机变量 ~ ~ 相互独立， 且 与 则称随机变量 *