控制论3-grw.ppt

控制论Cybernetics 主讲人：郭荣伟 山东轻工业学院 理学院 E-mail: rwguo@spu.edu.cn, Tel:1. 由输入输出描述导出状态空间方程 通常将由输入-输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。 考虑一个连续时间SISO线性定常(时不变)系统 另一方面，线性定常数系统的状态空间描述具有如下的形式 ： 结论2. 1 [由SISO描述导出状态空间描述] 证明：(1)mn 的情况。 由输入-输出描述 状态空间描述 选取适当 状态变量 2.5 线性时不变系统的特征结构 1. 线性系统(矩阵)的特征多项式 2. 线性系统(矩阵)的特征根 3. 线性系统(矩阵)的特征向量和广义特征向量 特征值的代数重数和几何重数 设 为矩阵 A 的一个特征值，且有 广义特征向量 性质1：设 是 A 的属于 的 级广义特征向量，则如下 证明： 2. 特征根互异时对角化 给定n维线性系统 假定A有n个互异的特征根 对应的特征向量为 结论2.4 [特征根互异时的约当形（对角形）] 证明： 对　　　　　　两边求导，得 其中， 另一方面， [注]： 1）对角规范形下，状态已解耦 2) 两类典型规范形（对角形与能控规范形）之间的 关系： 能控规范形： 易证：Ａ有ｎ个互异特征根 上述结论中的Ｐ可取为 则在坐标变换 下，能控形规范性化为对角形 3) 含复特征根时，对角规范形（实数化） 　　不失一般性，只考虑含一对共轭复根的情形 A的实特征根: 　　A的复特征根 　　　　　　　　　 　　 变换后的状态： 　实状态： 　 共轭复状态： 对时间求导 替换： 得实数化对角规范形 3. 特征根含重根的情形 　考虑系统： 设特征根为： 代数重数 几何重数 这里　 相应于特征值的广义特征向量所组成的变换矩阵为Q(可逆) 结论2.5 [重特征根时约当规范形] 在坐标变换 下，系统 变为 其中， 　　 为相应于特征根　 的约当块，且　 可进一步表示为　 个小约当块组成的块对角矩阵: 证明：略。 说明：对角线标准形：各状态变量间是完全解耦的。 约当标准形：各状态变量间最简单的耦合形 式，每个变量至多和下一个变量有关联。 1）先求出系统矩阵A的所有特征值。 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵 １、传递函数矩阵 ２、由状态空间描述导出传递函数矩阵 ３、传递函数矩阵的实用算法　 １、传递函数矩阵（MIMO系统） 回顾：SISO系统的传递函数 　　　 　其中，　　 和　　 分别是零初始条件下输出和输入的拉普拉斯变换。 一般可表示为 注： 传递函数矩阵G(s)的（严）真性 　 　　　严真当且仅当所有的 　严真; 真当且仅当除严真的元素外至少还有一个　　是真 　 由真G(s)导出严真 G(s)的极点是矩阵G(s)的特征多项式的根。 最小多项式：G(s)所有1阶、2阶，…min(p,q)阶子式的最 小公分母。 2. 由状态方程导出传递函数矩阵 注： G(s)的首１化特征多项式与Ａ的特征多项式相等，当且仅当系统能控能观；否则， G(s)的特征多项式的次数小于Ａ的特征多项式次数。 当且仅当系统能控能观时，G(s)的极点与Ａ的特征根　相同；否则， G(s)的极点集是Ａ的特征根集合的子集。 结论：传递函数矩阵在线性非奇异（坐标）变换下不变。 证： 　 　 [例 ] 求由 　表述系统的G(s) 3. G(s)的实用算法 结论 2.7 [算法]： 系统定常系统（A,B,C,D）的传递函数矩阵G(s)可如下计算： 其中 证明：略（自学）。 例：计算G(s) (1)