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海岸线长度问题 Koch曲线 蒙德尔布罗认为： 海岸线更接近于柯克曲线的形式。 （1）海岸线是没有规则的，不能用函数表达出来； (2)海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性; (3)海岸线的部分和整体是很相似的，无论从远处观察还是从近处观察都一样复杂，有自相似性。 ? B.B.Mandelbrot： “我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出了 fractal（分形）这个词．相应的拉丁文动词fragere 的意义是“使碎裂”、造成不规则的碎片．……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分裂的”（像在“分数”或“折射”中那样），fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都继承保留了下来”． 客观世界中更多的是“分形” 平面分形图形：海岸线、柯克曲线、下雨区域的边界、指纹和掌纹、河流的水系图、蜗牛爬过的路线等； 空间分形图形：天空中的云、地面上的山、河流的河道、树皮、DNA螺旋线、人的血管分叉、闪电的线路、人的经络等等。 “整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。 ” “自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。” ---- B.B.Mandelbrot （1）蒙德尔布罗集——分形的标志 （2）Cantor三分集——最简单的分形 （3）谢尔宾斯基“垫片” （3）谢尔宾斯基“地毯” （4）门格尔海绵 （4）门格尔海绵 用迭代函数算法画的树 美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑。 天气预报是怎么做出来的？ （1）分析、研究和总结天气的规律； （2）将这些规律表示成微分方程的形式； （3）编程输入计算机作为一个固定的模式； （4）采样（当地今天各个时间的气温、空气湿度、气压、风向、风力等数据） （5）将所得的数据输入计算机，通过程序得到明天各个时间的数据； （6）计算机自动将明天各个时间的数据输入，得到后天的数据； （7）重复（6），得到近几天的天气预报。 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行长期天气预报。 Lorenz发现，天气运动的规律不同于人们 通常研究的物质运动规律。人们通常研究的物质运动，小的初值改变只会导致结果的小改变。而天气运动不然，天气运动是“混沌”运动。 Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。 Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。 逻辑斯蒂映射（Logistic） 首先选定一个在(0,4)区间内的参数k，然后对于任意一个(0,1)区间内的初始值x_0，我们令 x_1=kx_0(1-x_0) 由均值不等式可知x_1也在(0,1)区间内，可以继续令 x_2=kx_1(1-x_1) 对于取值不太大的k，通过多次迭代发现不管初始值如何，最后结果总是稳定的，而且稳定状态不依赖于初始值。 但当k超过3时，情况发生了变化，稳定状态变为两个数值。 继续增大k到3.444…时，周期2的稳定状态也不再出现，出现周期4循环。 当增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期达到16，此后便是更快速的32，64，128…周期倍增数列。 这种倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699…就结束了，倍周期分岔现象突然中断： 周期性让位于混沌。 四、关于混沌的思考 1. 混沌的特点 1) 混沌是决定论系统的内在随机性，这种随机性与我们过去所了解的随机性现象，比如抛硬币等有很大的区别。 2)