角平分线性质定理.pptVIP

　角平分线的性质 第一课时 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ A O B C 活 动 1 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 活 动 2 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） A D B C E 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） O A B C E 活 动 3 N O M C E N M 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 如何用尺规作角的平分线？ A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． ３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求． O A B N M C 证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 　　　OM=ON 　　　MC=NC 　　　OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ A B O C D 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 活 动 5 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 证明： 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 探究角平分线的性质 ∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ∵点P是∠AOB平分线上的一点 又PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等） A O B E D P 证明线段相等 有角的平分线，有垂直距离 应用定理的前提条件是： 定理的作用： 如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么? O A B E D C P PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直 思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｓ Ｏ 公路 铁路 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A C D E B F 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 证明： ∵　AD平分∠CAB 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴　CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴