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由概率密度的定义可得Z的概率密度为： 固定 特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）： 例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0,1),即有 求Z=X+Y的概率密度。 解：由卷积公式 结论: 分布的可加性 例2:设随机变量X与Y独立同分布，X的概率密度为： 求Z=X+Y的概率密度。 解：由卷积公式 0 1 特别地,当X和Y相互独立时,有 2. Z=X-Y 类似与Z=X+Y的情形,可知 x-y=z 例3:设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为： 求Z=X-Y的概率密度。 解：由卷积公式 3. M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。 由于 现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。 (1)M=max(X,Y)的分布函数为： (2) N=min(X,Y)的分布函数为： 复习－联合分布函数，联合分布律，联合概率密度 复习-边缘分布 复习-条件分布律，条件密度函数 (1)由定义可知：若X与Y独立,则 (2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: (3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: 随机变量独立性的重要结论 * 复习思考题 3 1. 2. * 复习思考题 3 3. 4. * 复习思考题 3 5. 6. * 复习思考题 3 7. 8. 1. 作业以电子版的形式提交到 下面的邮箱，文件格式要求 为pdf.liaoshengbin@ 2. 作业: 谢谢！ 交流碰撞火花 Exchange produces sparks * * 实际做题中一般不用4来做。而是用红棉的联合概率密度在区域D的二重积分来做。 * 电气2 二维正态分布的图形 1. 当（X，Y）为离散型 §3 二维随机变量的条件分布 定义 在(X,Y)中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为条件分布 在 条件下，X的条件分布 固定值 自变量 同理 总和 分量 2.当（X，Y）为连续型 固定值 自变量 总和 分量 例:设二维随机变量(X,Y)的 概率密度为： 解 独立性 独立性 复习: 两个事件A与B独立性的定义 P(AB)=P(A)P(B) §4 随机变量的独立性 1、定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的 (1)由定义可知：若X与Y独立,则 (2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: (3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: 2、随机变量独立性的重要结论 (4) 联合分布和边缘分布的关系 联合分布 边缘分布 条件：独立性 例: 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为: Y X 0 1 P(y=j) 1 2 P(X=i) Y X 0 1 P(y=j) 1 2 P(X=i) 一般n维随机变量的一些概念和结果 边缘分布 如： 相互独立 1. (X,Y)离散 加法 使 对应的(X,Y)的那些可能值, 其概率之和 §5 两个随机变量的函数的分布 例1:设二维随机变量(X,Y)的分布律为: 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求Z=X+Y的分布律. 解:Z的所有取值为: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Z 1 2 3 4 5 6 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8 2. (X,Y)连续型 方法: 分布函数法 解：由 x, y, 的取值及Z与X、Y的函数关系可知，Z的取值范围（Z的密度函数不为0的范围）是 0 z 1, 首先求Z的分布函数 ； 当 0z1时，如图： 则Z的密度函数为： 0z1 下面我们就几个具体的函数来讨论 １．Z=X+Y的分布 Henry Xu 廖盛斌 liaoshengbin@ 第三章 多维随机变量及其分布 关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度 §1 二维随机变量 问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着