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控制系统数学模型的表示形式 根据系统数学描述方法的不同,可建立不同形式的数学模型 1 微分方程形式 设线性定常系统输入、输出量是单变量,分别为u(t),y(t) 模型参数形式为: 输出系统向量 , n+1维 输入系统向量 , m+1维 (2-1) 2 状态方程形式 当控制系统输入、输出为多变量时,可用向量分别表示为 U(t),Y(t),系统的内部状态变量为X(t). 模型参数形式为: 系统系数矩阵A,系统输入矩阵B 系统输出矩阵C,直接传输矩阵D 简记为(A,B,C,D)形式。 (2-2) 控制系统数学模型的表示形式 3 传递函数形式 在零初始条件下,将(2-1) 方程两边进行拉氏变换,则有 (2-4) 模型参数可表示为 传递函数分母系数向量 传递函数分子系数向量 用num=B,den=A分别表示分子,分母参数向量,则可简练的表示为(num,den),称为传递函数二对组模型参数 控制系统数学模型的表示形式 4 零极点增益形式 将(2-4)中的分子,分母分解为因式连乘形式,则有 模型参数可表示为 系统零点向量: 系统零点向量: 简记为(Z,P,K)形式,称为零极点增益三对组模型参数。 控制系统数学模型的表示形式 5 部分分式形式 将传递函数表示为如下形式 (2-7) 模型参数可表示为 极点留数向量: 系统极点向量: 余式系数向量: 简记为(R,P,H),称为极点留数模型参数。 控制系统数学模型的表示形式 线性时不变系统的对象数据类型描述 新版Matlab语言中,添加了“对象数据类型”,可以用来建立各种系统模型。 G=tf(num,den) G=zpk(Z,P,K) G=ss(A,B,C,D) 也可以通过以下函数获得模型参数向量 [num,den]=tfdata(G) or [num,den]=tfdata(G,’v’) [A,B,C,D]=ssdata(G) or [A,B,C,D]=ssdata(G,’v’) [Z,P,K]=zpkdata(G) or [Z,P,K]=zpkdata(G,’v’) 数学模型的转换 1 微分方程与传递函数形式 两者的模型参数向量完全一样。 2 传递函数与零极点增益形式 Matlab函数tf2zp()和zp2tf()用来完成两种形式之间的转换 如 [z , p , k]=tf2zp(num,den);[num,den]=zp2tf(z , p , k) 3 状态方程与传递函数或零极点增益形式 ss2tf()和tf2ss用来状态方程与传递函数间转换 如 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 数学模型的转换 4 部分分式与传递函数或零极点增益形式 ss2zp()和zp2ss用来状态方程与零极点增益形式间转换 如 [z,p,k]=ss2tf(A,B,C,D);[A,B,C,D]=tf2ss(z,p,k) 传递函数转化为部分分式形式的关键在于求取极点的留数 可通过residue()函数来完成。 如[R , P , H]=residue(num,den) [num,den]=residue(R , P , H) 例 a=[1 5 6]; b=[2 -2]; G=tf(b,a) [z p k]=tf2zp(b,a) [x y z]=residue(b,a) [z p k]=zpkdata(G) [z p k]=zpkdata(G,’v’) g=tf(conv([0 2],[1 -1]),conv([1 2],[1 3])) 控制系统的连接——串联 控制系统的连接——并联 控制系统的连接——反馈 A/D D/A 时域分析——step 时域分析——impulse 时域分析——常用时域分析函数 例1 例2 Bode图绘制 b=30; a=[1 31 30]; G=tf(b,a); bode(G); grid on margin [mag, pha, w]=bode(G) Nyquist图绘制 z=[-2 -3]; p=[0 0 -1]; k=5; g=zpk(z,p,k) nyquist(g)
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