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* 大学物理习题课(三) * 习题1 一质点作简谐振动,其振动方程为 (1)当x值为多大时,系统势能为总能量的一半?(2)质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少? 解 (1)势能 总能量 势能为总能量一半: 解得: (2)系统周期为 从平衡位置运动到x 从平衡位置运动到x的最短时间为 解: 习题2 一台摆钟每天快1分27秒,其摆长l = 0.995 m, 摆锤可上、下移动以调节其周期.假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑,则应将摆锤向下移动多少距离,才能使钟走得准确? 钟摆周期的相对误差 = 钟的相对误差 周期 两边对l求导 解: 习题3 质量m = 10 g的小球与轻弹簧组成的振动系统,按 的规律作自由振动,式中t以秒作单位,x以厘米为单位,求 (1)振动的角频率、周期、振幅和初相; (2)振动的速度、加速度的数值表达式; (3)振动的能量E; (4)平均动能和平均势能. (1) (2) (3) (4) 解: 习题4 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球,弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡.再经拉动后,该小球在竖直方向作振幅为A = 2cm的振动,试证此振动为简谐振动;选小球在正最大位移处开始计时,写出此振动的数值表达式. l 0 mg kl 0 设小球的质量为m 则弹簧的劲度系数 选平衡位置为原点,向下为正方向. x x k ( l 0 + x ) mg x 小球在x处时,根据牛顿第二定律得 解得 小球做简谐振动 由初始条件知 解: 习题5 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体,当物体处于平衡状态时,再对物体加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放.已知物体在32 s内完成48次振动,振幅为5 cm. (1)上述的外加拉力是多大? (2)当物体在平衡位置以下1 cm处时, 此振动系统的动能和势能各是多少? x k ( l 0 + x ) mg x f (1)选如图所示坐标系.设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为l0,则有, 加拉力f后弹簧又伸长x,则 物体在32s内完成48次振动 (2)平衡位置以下1cm处: 总能量 势能 动能 解: 习题6 一质点同时参与两个同方向的简谐振动,其振动方程分别为: 画出两振动旋转矢量图,并求合振动的振动方程. x O w w p/3 -2p/3 A v 1 A v 2 A v 两振动的旋转矢量图 解: 习题7 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播.设波沿着x轴正向传播,弹簧中某圈的最大位移为3.0cm,振动频率为25 Hz,弹簧中相邻两疏部中心的距离为24 cm.当t = 0时,在x = 0处质元的位移为零并向x轴正向运动.试写出该波的表达式. 解: 习题8 一简谐波,振动周期T = 0.5 s,波长λ=10m,振幅A = 0.1 m.当 t = 0时,波源振动的位移恰好为正方向的最大值.若坐标原点和波源重合,且波沿Ox轴正方向传播,求: (1)此波的表达式; (2)t1 = T/4时刻,x1= λ/4处质点的位移; (3)t2 = T/2时刻,x1= λ/4处质点振动速度. (1)此波的表达式 (2) t1 = T/4时刻,x1= λ/4处质点的位移 (3) t2 = T/2时刻,x2= λ/4处质点质点振动速度 解: 习题9 已知一平面简谐波的表达式为 (1) 求该波的波长λ ,频率ν 和波速u的值; (2) 写出t = 4.2s时刻各波峰位置的坐标表达式,并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置; (3) 求t = 4.2s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻 t. (1)这是一个向x轴负方向传播的波
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