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地图学的数学基础（2） 地图投影 地图投影的概念 地图投影的变形 地图投影的分类 地图投影的概念 地图投影是在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。 即：采用一定的数学方法将球面上的地理坐标（纬度φ、经度λ）转化为平面上的直角坐标(纵坐标x, 横坐标y )或极坐标(动径ρ, 动径角δ)。 投影的概念和实质 地图投影的实质 建立地球椭球面与投影平面上点的一 一对应关系。 x=f1(φ, λ) y=f2(φ, λ) 地图投影的过程： 1、将地球表面按一定比例缩小成一个地形模型； 2、将其上的特征点(测量控制点、地形点、地物点)用垂直投影的方法投影到平面(图纸)上。 对于小范围地区，可视地表为一平面，认为没有变形； 对于大的区域范围，甚至半球、全球这种不可展的球面，从不规则的地球表面到制成地图，要经过两个过程： 首先将地球自然表面上的点沿垂直方向投影到地球椭球面上（这种椭球面是通过复杂的天文大地测量获得的接近地球的、能用数学方法表达的旋转球体）， 然后再将投影到椭球面上的点运用数学方法投影到某种可展面上。 地球仪的经纬线特性： 经线都是大圆并收敛于两极 纬线互相平行，长度不等。赤道为大圆，纬度越高，纬圈越小，至极点纬圈长度为0。 经纬线互相垂直 地图投影的变形 由球面到平面，必然会产生变形（破裂或褶皱），在实际制图中，要根据不同要求和各种投影的特点选择合适的投影，减小投影变形。 地图投影的变形 变形的概念 变形的表现 变形椭圆 长度比和长度变形 面积比和面积变形 角度变形 地图变形的概念 用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但是平面上的经纬线网与其在球面上的形状并不完全相似，发生了变形。 因此，根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也会随之发生变形。 地图投影变形的表现： 长度变形 面积变形 角度变形 长度变形 地图上的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小。 长度变形因投影而异。 同一投影上，长度变形随地点而改变，同一点上，因方向不同而不同。 面积变形 地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小，（面积变形） 因投影而异。 在同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。 角度变形 经线和纬线不呈直角相交，存在角度变形。 因投影而异。 在同一投影上，角度变形因地点而变。 长度比 长度比：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已经按照规定的比例缩小）之比。 长度比和地图比例尺不同。 主比例尺：用地图投影的方法绘制地图时，将地球椭球体按规定的比例尺缩小，才能表示在平面上。 长度比随方向的变化而变化 长度比与长度变形 长度变形 长度变形 = （ds’-ds ） / ds = μ -1 长度变形为正，表示投影后长度增长； 长度变形为负，表示投影后长度缩短。 面积比 面积比是投影平面上微小面积dF’ （变形椭圆面积）与球面上相应的微小面积dF （微小圆面积）之比。 dF’=πa b dF = π 12 面积比与面积变形 面积变形 面积变形就是（dF’- dF）与 dF之比。 面积变形为正，表示投影后面积增大； 面积变形为负，表示投影后面积缩小。 角度变形 角度变形是投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差。 通常研究角度变形时，只研究角度的最大变形。 角度变形 变形椭圆 地球面上一无穷小的圆在平面上一般被 描写为一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影变 形而产生，故称此椭圆为变形椭圆。 主方向的性质： 1、地球面上的正交线投影后仍然正交。 2、投影后具有最大长度比和最小长度比。 地图投影的分类： 按投影变形的性质可分为： 等角投影、 等面积投影、 等距离投影； 等角投影 等面积投影： 条件： 任意投影（等距离投影） 地图投影的分类 按正常位置投影经纬网图形可分为： 方位投影、 圆锥投影、 圆柱投影等。 方位投影及其应用 正轴方位投影 横轴方位投影 适合地区 斜轴 方位投影 适合地区 圆柱投影 高斯-克吕格投影 圆锥投影 * * 同一纬度，经差相等的纬线弧长相等； 同一经度，纬差相等的经线弧长相等。 同一纬度带内，经差相同的梯形网格面积相等； 同一经度带内，纬差相同的梯形网格面积不等， 纬度越高，面积越小。 投影的变形 ? ? ? ? ? ? ? ?