数理统计-第2章-参数估计.ppt

函数与极限 例7 设总体期望为 E( X )= ? , 方差 D( X )=? 2 为总体X 的一个样本 常数 证明 是 ? 的无偏估计量 (2) 证明 比 更有效 证: (1) (2) 而 结论 算术均值比加权均值更有效. 例如 X ~ N( ? ,? 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本. 都是? 的无偏估计量 由例7(2) 知 最有效. 罗—克拉美（Rao – Cramer） 不等式 若 是参数 ? 的无偏估计量, 则 其中 p ( x , ? ) 是总体 X 的概率分布或密度函数， 称为方差的下界. 当 时, 称 为达到方差下界的 无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称 有效估计量. I(θ) 例8 设总体 X 的密度函数为 为 X 的一个样本值. 求? 的极大似然估计量，并判断它是否是达到 方差下界的无偏估计量. 为常数 解 由似然函数 ? 的极大似然估计量为 它是? 的无偏估计量. 而 故 是达到方差下界的无偏估计量. 定义 设 是总体参数? 的 则称 是总体参数? 的一致(或相合)估计量. 估计量. 若对于任意的? ? ? , 当n? ?时, 依概 相合性 率收敛于? , 即 一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性. 例9 为常数 则 是? 的无偏、有效、一致估计量. 证 由例8 知 是? 的无偏、有效估计量. 所以 是 ? 的一致估计量, 证毕. 这一讲，我们介绍了参数点估计，讨论了估计量的优良性准则 . 给出了寻求估计量最常用的矩法和极大似然法 . 参数点估计是用一个确定的值去估计未 知的参数. 看来似乎精确，实际上把握不大. 为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计. 这是下一讲的内容 . § 2.4 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), x1,x2,…,xn 是一组样本值 不同的样本值算得的 ? 的估计值不同，因此除了给出未知参数的点估计外， 还希望根据所给的样本确定一个随机区间，使其包含参数真值的概率达到指定的要求. ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 如引例中，若要找一个区间,使其包含? 的真 值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 取 查表得 这说明 即 称随机区间 为未知参数 ? 的置信度为0.95的置信区间. 反复抽取容量为5 的样本, 都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数 ? 的真值, 也可能不包含未知参数的真值, 包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 ? 的置信区间 ? 的置信上限 置信度 ? 的置信下限 若测得 一组样本值, 它可能包含 ? 的真值，也可能不包含? 的真值 当置信区间为 时 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 反复抽样得到的区间中有95%包含 ? 的真值. 算得 区间的长度为 ——— 达到最短 取 ? = 0.05 设 ? 是一个待估计的参数, ? 是一给定的数, ( 0 ? 1). 若能找到两个统计量 使得 则称随机区间 为参数 ? 的置信度为1 - ? 的置信区间, 为置信下限与置信上限, 分别称 1 - ? 称为置信水平或置信度. 置信区间的定义 ? 反映了估计的可靠程度, ? 越小, 越可靠. 置信区间的长度 反映了估计的精度 ? 越小, 1- ? 越大, 估计的可靠程度越高,但 这时, 往往增大, 因而估计的精度降低. 越小, 估计的精度越高. ? 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一 , 常 选最小的一个. 几点说明 若 关于?1, ?2,…, ?k 可微， 为似然方程组 若对于某组给定的样本值x1, x2,…, xn， 参数 使得似然函数取得最大值，即 则称 为?1, ?2,…, ?k 的极大似然估计值。 则称 7-24 记 称统计量 为?1, ?2,…, ?k 的极大似然估计量。 7-25 例7 设总体 X ~ N (?,? 2), x1, x2,…, xn 是 X 的 一组样本值，求 ?, ? 2 的极大似然估计. 解 7-26 ?, ? 2 的极大似然估计量分别为 似然 方程 组为 7-27 求未知参数的极大似然估计值(量)的方法 1） 写出似然函数L 2）求出 ,