概率论与数理统计第二章5.ppt

§5 随机变量的函数的分布 离散型 连续型 定理及其应用 随机变量的函数 一、离散型随机变量的函数 第 一 种 情 形 第 二 种 情 形 例 1 例 1（续） 例 3 例 3（续） 二.连续型随机变量函数的分布 例 6 例 6（续） 例 6（续） 例 6（续） 例 6（续） 定 理 的 证 明 定 理 的 证 明 定 理 的 证 明 例 8 例 8（续） 练习1： 练习1（续） 练习2 练习2提示 练习3（续）方法2（续） 证 X的概率密度为： §5 随机变量的函数的分布 例 7 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 例 7(续) 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 结论： §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 设随机变量 X 具有概率密度： 试求 Y=sinX的概率密度. 解： §5 随机变量的函数的分布 例 9 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 例 9 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 例 9 返回主目录 Y=sinX的概率密度为： §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 解: Y 有可能取的值为 0，1，-1. §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 已知X的分布函数为 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 * 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律. pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1, §5 随机变量的函数的分布 例 2 返回主目录 同理, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2, pk Y 0 1 4 0.1 0.7 0.2 所以，Y=(X-1)2 的分布律为： pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 Y=(X-1)2 §5 随机变量的函数的分布 例 2（续） 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 §5 随机变量的函数的分布 解 题 思 路 设随机变量 X 具有概率密度： 试求 Y=2X+8 的概率密度. 解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)： §5 随机变量的函数的分布 例 4 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 例 4（续） 返回主目录 整理得 Y=2X+8 的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式 §5 随机变量的函数的分布 例 4（续） 设随机变量 X 具有概率密度 求 Y = X 2 的概率密度. 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)： §5 随机变量的函数的分布 例 5 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 例 5（续） 返回主目录 例如,设 X~N(0,1),其概率密度为： 则 Y = X 2 的概率密度为： §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 定理2.5.1 设随机变量 X 具有概率密度 则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为 其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 定理（续） 返回主目录 §6 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布 返回主目录 §5 随机变量的函数的分布