神奇的旋转几何题.docVIP

例1．有公共顶点C的△ABC和△CDE都是等边三角形. （1）求证：AD=BE； （2）如果将△CDE绕点C沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE还成立吗？ 推广：四边形ABDE和ACFG都是正方形，连结EC,BG，如果将ABDE绕点A旋转一个任意角，问EC与BG有何关系. 例2.课本例题推广： （1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD的面积36，求线段BC与CD的和. （2）已知：在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°． 求证：AD是∠CDE的平分线． （3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＞AD；∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°．若AE＝10，求CE的长． AD A D B F C E M 例3．已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周长. 例4. 已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D、E 在AB边上，且使得∠DCE＝45°．求证：AD、DE、EB三条线段确定的数量关系 练习： 在△ABC中，AB=AC，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 . 求DE的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， （1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC． （2）D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB． （3）若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135° 　　 2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分∠EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE. 拓展：已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， （1）如图（1），若有BE+DF=EF，求：∠EAF的度数. （2）如图（2），若有∠EAF =45o.求证：BE+DF=EF. （3）如图（3），若∠EAF=45o，AH⊥EF．求证：AH=AB． （4）如图（4），若正方形ABCD边长为1，△CEF的周长为2．求∠EAF的大小． （5）如图（5），若AB=，且∠BAE=30o，∠DAF=15o，求△AEF的面积． （6）如图（6），正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程． （1） （2） （3） （5） 练习：（答案） 1．在△ABC中，AB=AC，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求DE的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， （1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC． （2）D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB． 　　分析: 将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC，得 ∠AEC＞∠ADC．又 ∠ADE=∠AED，相减，得 ∠DEC＞∠EDC． 　　∴ CD＞CE． 即 CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB． 拓展（3）若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°． 　　分析:利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90o，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90o→PE=，∠BPE=45o.又 　　∴ ∠APE=90°．于是 ∠APB=135°． 拓展（4）在等边三角形内有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：） 分析:将△CPB旋转到△AP′B，连接PP′，延长BP，过A作AD⊥BD.易知△APP′是直角三角形，因为∠BPP′=60o，所以∠APD=30o，则AD=2，DP=. 旋转讲解2 例1：（05大连）如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明． （2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不