[名校联盟]广东省珠海市金海岸中学高中数学选修一 变化率与导数 课件.pptVIP

微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 思考? 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? 做两个题吧! 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。  （二）、 导数的概念 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 小结： 1.函数的平均变化率 * * * * 变化率与导数 天津市第四十七中学（李春霞） 问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里, 定义: 平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则 理解： 1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但是△x值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式 O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 直线AB的斜率 练习: 1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率. (1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] . D 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx 又如何求 瞬时速度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 △t0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内 △t0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 当△t = – 0.01时, 当△t = 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t =0.001时, 当△t = –0.0001时, 当△t =0.0001时, △t = – 0.00001, △t = 0.00001, △t = – 0.000001, △t =0.000001, …… …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1. 表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”. 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率