极坐标与参数方程知识点总结大全.docVIP

极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．下列在曲线上的点是（ ） A． B． C． D． 3．将参数方程化为普通方程为（ ） A． B． C． D． 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中 焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为 7．直线的参数方程 经过点，过，倾斜角为的直线的参数方程为。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 北京高考近几年真题 （2014年北京.3题5分）曲线（为参数）的对称中心（ ） 在直线上 在直线上 在直线上 在直线上 （2012年北京.9题5分）直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为 ． （2014年北京.3题5分）答案：B （2012年北京.9题5分）答案：2 二、极坐标方程 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地, 当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 2.极坐标和直角坐标的互化 例题、 = 1 \* GB3 ①直角坐标为(－eq \r(2)，eq \r(2))、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、 = 2 \* GB3 ②极坐标为（2，）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 1. = 1 \* GB3 ①答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4))) 、（2，） = 2 \* GB3 ②