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第2章 自动控制系统的数学模型 数学模型 1.定义:描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。 2.为什么要建立数学模型:对于控制系统的性能,只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的,希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点,首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。 另一个原因:许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统,其运动规律可能完全一样,可以用一个运动方程来表示,我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式,即可知其变量间的关系,这种关系可代表数学表达式相同的任何系统,因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析,具有相同的数学模型(可以进行仿真研究)。 3.表示形式 (经典控制理论中最常用的) a.微分方程;b.传递函数; c.频率特性 4.建立方法 a.解析法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数,推导出输入量和输出量之间的数学表达式,从而建立数学模型——适用于简单的系统。 b.工程实验法 工程实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下,采用这种建模方法。 2.1 控制系统的微分方程数学模型 举例1 编写RC 电路微分方程 (1)确定输入、输出量为ui 、u0 (2)根据电路原理列微分方程 (3)消去中间变量,可得电路微分方程 解 在物体受外力F的作用下,质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量,位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律,可列出作用在上的力和加速度之间的关系为 2.2 传递函数 课程小结 课程小结 课程小结 2.3 方块图 结构图是系统原理图与数学方程两者的结合,具有以下特性: 是系统动态特性的一种数学模型,描述系统中各元件间的相互关系、系统中信号的传递和变换。 脱离了物理系统的模型!! 是系统数学模型的图解形式!! 只能进行加减乘除运算。微分方程则要通过拉氏变换成代数方程,才能用结构图描述系统的动态特性。 可以将复杂原理图简化,了解每个元部件对系统性能的影响。 例 绘图示双RC网络的结构图。 前向通道:由信号输入点向信号引出点的通道 反馈通道:把输出信号反馈到输入端的通道 偏差信号E(s) 反馈信号B(s) 前向传递函数 开环传递函数 闭环传递函数 若反馈通道的传递函数H(s)=1时,称为单位反馈系统,此闭环传递函数为 以下五种典型情况最常使用。 上面这些规则都是根据下列两条原则得到的,即 练习 双RC网络的结构图简化。 熟悉了梅森公式后,根据它求系统的增益,比利用结构图更简便有效,特别是复杂的多环系统和多输入、多输出系统效果更显著。因此,信号流图得到了广泛使用,并常用于控制系统的计算机辅助设计。 2.5 典型控制系统的传递函数 2.6 脉冲响应函数 例2.14 已知系统的脉冲响应函数为 控制系统的数学模型 输入量、干扰量同时作用于线性系统 G1(s) G2(s) H(s) 反馈控制系统的典型结构 2. 方块图的等效变换 在对系统进行分析时,为了简化系统的结构图,常常需要对信号的分支点或相加点进行变位运算,以便消除交叉,求出总的传递函数。 变位运算的原则是,输入和输出都不变。变换前后的方框图是等效的。 1、串联方框的简化 2、并联方框的简化 3、反馈连接方框的简化 5、引出点移动 4、比较点的移动 G(s) -1 R(s) Y(s) H(s) E(s) (3) 负号可在支路上移动,可越过方块,但是不能越过比较点和分支点 E(s)=R(s)-H(s)Y(s) =R(s)+(-1)H(s)Ys) =R(s)+[-H(s)]Y(s) (1) 各支路信号相加减与加减的次序无关 (2) 在线路中引出支路与引出的次序无关 Y(s) R(s) G(s) H(s) E(s) - 方块图变换等效变换 G(s) G(s) 1/G(s) G(s) G(s) G(s) (4)相加点(对信号求和) (5)分支点(信号由某一点分开) G(s) G(s) G(s) G(s) G(s) 1/G(s) 总结:两个不越过;两个可越过 两个不越过: (1)相加点和分支点之间一般不能互换变位 (2)负号不能越过分支点和相加点 两个可越过: (1)分支点之间可任意互换
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