吴赣昌编-概率论与数理统计-第2章.pptVIP

例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。 一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为： 二、几个常用的连续型随机变量的分布 若随机变量X具有概率密度函数 1. 均匀分布 则称X在[a, b]上服从均匀分布，记作 X~U[a, b]。 若X~U[a, b]，则X具有下述等可能性： X落在区间[a, b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。 X的分布函数 f(x),F(x)的图像分别为 O a b x f(x) O a b x F(x) 1 例2.18 设随机变量X~U[1, 6] ，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。 解 当Δ=X2-4≥0时，方程有实根。所求概率为 X的密度函数为 则称X服从参数为?0的指数分布。 其分布函数为 2、指数分布 设连续型随机变量X具有概率密度 例2.20 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？ 解 指数分布Forever Young(无记忆性) 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 3、正态分布 A B A，B间真实距离为?，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？ 则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为X～N(?, ?2)。 若随机变量X的概率密度函数为 （其中? ，?为实数, ?0） f(x)的图像为 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称，即 f(? +x)=f(? -x)，x∈(-∞,+∞) 正态分布密度函数f(x)的图形特征 (2)x= ?时， f(x)取得最大值f(?)= ； (3)x= ?±σ处有拐点； (4)?的大小直接影响概率的分布，?越大，曲线越平坦，?越小，曲线越陡峭。（如图） 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 (5)曲线f(x)以x轴为渐近线。 易知 且 正态分布随机变量X的分布函数为 其图像为 O μ x F(x) 1 标准正态分布 当参数?＝0，?2＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 分布函数表示为 其密度函数表示为 O x 1 Φ(x) 标准正态分布的密度函数与分布函数的图像分别为 可得 对于标准正态分布的分布函数Φ(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(P295)。表中给出了x0的函数值。当x0时，可利用Φ(-x)=1- Φ(x)计算得到。 例2.22 已知X~N(0, 1)，求P(-∞＜X≤-3)， P(|X|＜3) 解 P(-∞＜X≤-3)= Φ(-3) = 1-Φ(3) 标准正态分布表 P(|X|＜3)= P(-3＜X ＜ 3)= Φ(3) - Φ(-3) = Φ(3) -[1-Φ(3)] =2Φ(3)-1 =2×0.9987-1=0.9974 =1-0.9987=0.0013 一般地, X~N(0, 1), P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1 对于一般正态分布的随机变量X～N(?, ?2)，可通过将其分布函数标准化的方法来计算其分布函数值(即概率)。 设随机变量X～N(?, ?2)，其分布函数为FX(x)，则有 一般有 例2.23 已知X~N(1, 4),求P(5＜X≤7.2), P(0＜X≤1.6) 解 分位数的概念 X～N(?, ?2)，p∈(0,1)，若实数up满足P(X up)=p, 则称up为标准正态分布的p分位点。 Up O x p 正态随机变量的3?原则(P52)：