吴赣昌编-概率论与数理统计-第6章.ppt

定义 从此例我们发现随机变量Z在区间的构造中起着关键的作用，它具有下述特点： (1) Z是待估参数μ和统计量 (2)不含其它未知参数； (3)服从与未知参数无关的已知分布。 的函数； 单侧置信区间 有些实际问题中，我们关心的是未知参数“至少有多大”（如元件的寿命），或“不超过多大”（如不合格率），这就是单侧置信区间。 定义 称为θ的单侧置信下限。 称为θ的单侧置信上限。 一、单正态总体N(μ,σ2)的均值μ的置信区间 1、方差σ2已知 由6.3例1可知 则置信度为1-α的μ的置信区间为 6.4 正态总体的置信区间 2、方差σ2未知 由于方差σ2未知，不能使用 作为统计量 用σ2的无偏估计量 代替σ2 则μ的置信度为1-α的置信区间为 求正态总体参数置信区间的解题步骤： (1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知； (2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1??，要求区间按几何对称或概率对称； (3)解不等式得随机变量的置信区间； (4)由观测值及?值查表计算得所求置信区间。 例6.16 已知某批灯泡的寿命X(单位:小时)~N(μ,σ2)，现从这批灯泡中抽取10个，测得寿命分别为1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200 若α=0.05，求μ的置信区间(1)σ2=8，(2)未知。 解(1)由于σ2=8，由样本观察值计算得 n=10，α=0.05 查标准正态分布表得 μ的置信度为0.95的置信区间为[1145.25，1148.75]。 (2)由于σ2未知，由样本观察值计算得 S=87.0568, n=10, α=0.05，查t分布表得 μ的置信度为0.95的置信区间为[1084.72，1209.28]。 由χ2分布分位点的概念可知 二、单正态总体N(μ,σ2)的方差σ2的置信区间 可得σ2的置信度为1-α的置信区间为 例： 为测定某家具中的甲醛含量，取得4个独立的测量值的样本，并算得样本均值为8.34%，样本标准差为0.03%，设被测总体近似服从正态分布，α=0.05，求μ,σ2的置信区间。 解 由题意：σ2未知，n=4，S=0.03%， 查t分布表得 μ的置信度为0.95的置信区间为[8.2923%，8.3877%]。 对于σ2 ，由于μ未知， 查χ2分布表 则σ2的置信度为0.95的置信区间为[0.00029×10-4，0.0125×10-4] 三、双正态总体均值的置信区间 设样本X1,X2,…,Xn1来自正态总体X~N(μ1,σ12) 样本Y1,Y2,…,Yn2来自正态总体Y~N(μ2,σ22)，且相互独立 S12为X的样本均值和样本方差 S22为Y的样本均值和样本方差 1、σ12，σ22已知，μ1-μ2的区间估计 相互独立 是μ1-μ2的极大似然估计 取 可知μ1-μ2的置信度为1-α的置信区间为 2、若σ12，σ22未知，但已知σ12=σ22 ，μ1-μ2的区间估计 此时，取 可知μ1-μ2的置信度为1-α的置信区间为 四、两个正态总体方差比σ12/σ22 的置信区间 1、?1，?2未知 根据σ12，σ22的估计，构造 可知，方差比σ12/σ22 的置信度为1-α的置信区间为 2、当?1，?2已知时 可知，方差比σ12/σ22 的置信度为1-α的置信区间为 例6.18 研究机器A和机器B生产的钢管的内径，测得 设两样本相互独立，X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，取α =0.1 求(1) σ12/σ22的置信区间，(2)若已知σ12=σ22，求μ1-μ2的置信区间。 解 已知 (1) 由α =0.1，?1，?2未知，查F分布表得 σ12/σ22的置信度为0.90的置信区间为 [0.4475，2.9076] (2) μ1-μ2的置信度为0.90的置信区间为 [-2.3785，-1.6615] * * * * * * 第六章 参数估计 估计量的评选标准 参数的点估计 正态总体参数的区间估计 6.1 参数的点估计 一、参数估计的概念 问题的提出：已知总体X的分布函数F(x;θ1,θ2,…,θk)，其中θ1, θ2,…, θk 是未知参数，现从该总体中随机地抽样，得到一个样本X1,X2,…,Xn ，再依据该样本对参数θ1, θ2,…, θk作出估计,或者估计参数的某个已知函数。 点估计：用某个函数值作为总体未知函数的估计值 区间估计：对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值。 二、 衡量估计量好坏的标准 的点估计量 一般是不唯一的, 如何选择好的 ? 首先我们要对估计量提出衡量其好坏的标准. 三条标准: 无偏性, 有效性, 相合性（一