线面角求法总结.docVIP

线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。 （2）SC与平面ABC所成的角。 解:（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, 图1 ∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sinθ=h／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角的正弦值。 解：设点 B 到AB1C1D的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5 图2 3. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2 已知，如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影。设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知： ， 又∵， 可以得到：， 注意： 易得： 又即可得：． 则可以得到： 平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理） 例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。 解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则 ∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知 ∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60°=cos∠AOD·cos30° ∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。 图4 练习．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角。 〖解〗（法一）连结与交于，连结， ∵，，∴平面， ∴是与对角面所成的角， 在中，，∴． （法二）由法一得是与对角面所成的角， 又∵，， ∴，∴． 【基础知识精讲】 1.直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系： (1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内. 直线a在平面α内，记作aα. (2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点. 记作a∩α＝A (3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α. 直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα. 2.直线和平面平行的判定 判定??如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”) 即??a∥b,aα，bαa∥α 证明??直线和平面平行的方法有： ①依定义采用反证法 ②利用线面平行的判定定理 ③面面平行的性质定理也可证明 3.直线和平面平行的性质定理 性质??如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”). 即??a∥α,aβ，α∩β＝ba∥b. 这为证线线平行积累了方法： ①排除异面与相交??②公理4??③线面平行的性质定理 ? 【重点难点解析】 本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用. 例1??如图，ABCD