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圆锥曲线秒杀法 吴磊 研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线 一、圆锥曲线部分小题用到的方法 1、椭圆C：x2/8+y2/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________ 注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法 法一、隐函数求导 直接对C：x2/8+y2/2=1求关于X导数可得 x/4+yy=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和 (2,-1)； 法二、缩放坐标 将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K=2K=1，椭圆化为圆C: x2+ y2=2;很容易求得I与C相切于(-1,1)和 (1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1) 2、椭圆C：x2/4+y2/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______ 法一、直接用柯西不等式 椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l与l的距离， l= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x2/4+y2/3)（4+12）≥(x-2y)2;-4≤b≤4;把4和-4代入l；再利用平行线距离公式求I和l距离，最大距离为√5 所以0≤d≤√5 法二、缩放坐标系 椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l与l的距离。 l= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y；椭圆C缩放后方程C为: x2+y2=4；l缩放后表达式为l=x-√3y+b=0, C与l相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤√5 3、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x2/4+y2=1有公共点，则直线l斜率K取值范围为:______ 法一、直接用柯西不等式 l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x2/4+y2)（22+ m2）≥(x-my)2 可得，m2≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6 法二、缩放坐标 l:my=x-4， x=2x C: x 2+ y 2 =1; I:m y=2 x-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m 2)≤1；可解的m2≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6 二、柯西不等式 柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。 柯西不等 柯西不等式---[方和 积不小于积和 方] 柯西不等式的主要变形公式 变形公式1 取等条件同 变形公式2 变形公式3 柯西不等式三角公式 变形公式4 取等条件同 变形公式5 取等条件同 三、仿射 四、参数方程 椭圆参数方程 吴磊 一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑 x=acosθ；y=bsinθ 是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗? θ究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中θ是一个意思吗? 1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开 例1、P是椭圆C上一点: x= 4cosθ; y=2√3sinθ 且在第一象限 O（ O为原点）P的倾斜角为π/3，则P点的坐标为_________ 经典错法: 因为倾斜角为π/3，x= 4cosθ; y=2√3sinθ，所以 x= 4cosπ/3=2; y=2√3sinπ/3 =3 求得P坐标（2、3） 正解: 椭圆参数方程θ是旋转而成的圆心角而不是倾斜角 因为 OP的倾斜角为π/3，故OP的斜率K= tanπ/3=√3； √3=y/x 2√3sinθ/4cosθ=√3 (1) sinθ2+cosaθ2=1 (2) 联立二式，P在第一象限，可解cosθ=√5/5 sinθ=2√5/5 P点坐标为(4√5/5 、4√15/5 ) 2、椭圆参数方程的推导和含义解释 3、椭圆参数方程的设法 可能有的同学会按照焦点