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3．2.2 第1课时 对数函数的概念、图象与性质
1．理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)
3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)
4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 对数函数的概念
阅读教材P81“对数函数”至P81思考，完成下列问题．
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
1．函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________.
【解析】 由a2－4a＋4＝1，
解得a＝1或a＝3.
∵a＞0且a≠1，
∴a＝3.
【答案】 3
2．对数函数f (x)的图象过点(4,2)，则f (8)＝________.
【解析】 设f (x)＝loga x，则loga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴f (8)＝log2 8＝3.
【答案】 3
教材整理2 对数函数的图象与性质
阅读教材P81“思考”～P84例2，完成下列问题．
1．对数函数的图象和性质
a1
0a1
图
象
续表
a1
0a1
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
2.反函数
对数函数y＝logax(a0且a≠1)和指数函数y＝ax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
一般地，如果函数y＝f (x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)．
(1)函数f (x)＝eq \f (lg?x＋1?,x－1)的定义域是________．
【解析】 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋10，,x－1≠0))?x－1且x≠1.
【答案】 {x|x－1且x≠1}
(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
【解析】 由题意得1－2a＞1，所以a＜0.
【答案】 (－∞，0)
(3)若g(x)与f (x)＝2x互为反函数，则g(2)＝________.
【解析】 f (x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2 x，
∴g(2)＝log2 2＝1.
【答案】 1
[小组合作型]
对数函数的概念
判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
①y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
【精彩点拨】 依据对数函数的定义来判断．
【自主解答】 ①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
②中对数式后减1，
∴不是对数函数；
③中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
④中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．
一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
[再练一题]
1．对数函数f (x)满足f (2)＝2，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (1,2)))＝________.
【解析】 设f (x)＝loga x(a0且a≠1)，
由题知f (2)＝loga 2＝2，故a2＝2，∴a＝eq \r(2)或－eq \r(2)(舍)．
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (1,2)))＝logeq \r(2) eq \f (1,2)＝eq \f (1,\f (1,2))log2 eq \f (1,2)＝－2.
【答案】 －2
对数函数的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)f (x)＝logx－1(x＋2)；(2)f (x)＝eq \r(－lg ?1－x?)；
(3)f (x)＝eq \f (1,log2?x－1?)；(4)f (x)＝eq \f (1,\r(1－loga?x＋a?))(a0且a≠1)．
【精彩点拨】 根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．
【自主解答】 (1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－10，,x－1≠1，,x＋20，))解得x1且x≠2，
∴f (x)的定义域为{x|x1且x≠2}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－lg ?1－x?≥0，,1－x0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(lg ?1－x?≤0，,x1))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x≤1，,x1))?0≤x1.
∴函数的定义域为[0,1)．
(3)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\
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