高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案(含解析)新人教A版必修2 (1).doc

3.1.1　倾斜角与斜率 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) [基础·初探] 教材整理1　直线的倾斜角 阅读教材P82～P83“思考”以上部分，完成下列问题． 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°. 3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角． 如图3-1-1所示，直线l的倾斜角为(　　) 图3-1-1 A．30°　 B．60° C．120° D．以上都不对 【解析】　根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°. 【答案】　C 教材整理2　直线的斜率及斜率公式 阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分，完成下列问题． 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 3．斜率意义 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(　　) 【解析】　(1)错误．除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α. (4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小组合作型] 直线的倾斜角 　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°α180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ 【精彩点拨】　eq \x(画草图)―→eq \x(标记α)―→eq \x(找倾斜角与α的关系)―→eq \x(求倾斜角) 【自主解答】　由题意画出如下草图 由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＋90°?0°α90°?，,α－90°?90°≤α180°?.)) 1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答． 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． [再练一题] 1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾斜角为α－135° 【解析】　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面， 不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】　D 直线的斜率 　已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq \r(3)＋1)． (1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围． 【精彩点拨】　(1)利用k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)及k＝tan α求解； (2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围． 【自主解答】　(1)由斜率公式得 kAB＝eq \f(1－1,1－?－1?)＝0，kBC＝eq \f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq \r(3). kAC＝eq \f(\r(3)＋1－1,2－?－1?)＝eq \f(\r(3),3). 倾斜角的取值范围是0°≤α180°. 又∵tan 0°＝0， ∴AB的倾斜角为0°. tan 60°＝eq \r(3)， ∴BC的倾斜角为60°. tan 30°＝eq \f(\r(3),3)， ∴AC的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由C