3.3.2简单的线性规划问题(1).doc

3．3.2　简单的线性规划问题(一) 学习目标　1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 引例　已知x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,4x≤16，,4y≤12，,x≥0，,y≥0.))① 该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值． 以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念． 知识点一　线性约束条件 在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． 知识点二　目标函数 在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x、y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数． 知识点三　线性规划问题 一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题． 知识点四　可行解、可行域和最优解 满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解． 类型一　最优解问题 命题角度1　问题存在唯一最优解 例1　已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,4x≤16，,4y≤12，,x≥0，,y≥0，))该不等式组所表示的平面区域如图， 求2x＋3y的最大值． 解　 设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y， 则y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)， 这是斜率为定值－eq \f(2,3)，在y轴上的截距为eq \f(z,3)的直线，如图． 由图可以看出， 当直线y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距eq \f(z,3)的值最大， 此时2x＋3y＝14. 反思与感悟　图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域； ③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置； ④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 跟踪训练1　已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围． 解　作出二元一次不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤5，,－1≤x－y≤3))所表示的平面区域(如图)即为可行域． 设z＝2x－3y，变形得y＝eq \f(2,3)x－eq \f(1,3)z， 则得到斜率为eq \f(2,3)，且随z变化的一组平行直线． －eq \f(1,3)z是直线在y轴上的截距， 当直线截距最大时，z的值最小， 由图可知， 当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大， 即z最小． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x＋y＝5，))得A的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5. 当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小， 即z最大． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,x＋y＝1，)) 得B的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7， 即2x－3y的取值范围是[－5,7]． 命题角度2　问题的最优解有多个 例2　已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值． 解　约束条件所表示的平面区域如图： 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. 当a＝0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值； 当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1； 当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1. 综上，a＝1或a＝－1. 反思与感悟　当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解． 跟踪训练2　给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,5) C．4 D.eq \f(5,3) 答案　B 解