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第9讲 函数模型及其应用
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是
( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.幂函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析 根据已知数据可知,自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
答案 A
2.(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是
( )
解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
答案 A
3.(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为
( )
A.10 B.11 C.13 D.21
解析 设该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护费用为2+4+…+2x=x(x+1),所以x年的平均费用为y=eq \f(100+0.5x+x(x+1(,x)=x+eq \f(100,x)+1.5,由基本不等式得y=x+eq \f(100,x)+1.5≥2 eq \r(x·\f(100,x))+1.5=21.5,当且仅当x=eq \f(100,x),即x=10时取等号,所以选A.
答案 A
4.(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是
( )
解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.
答案 B
5.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差
( )
A.10元 B.20元 C.30元 D.eq \f(40,3)元
解析 设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,
B种方式对应的函数解析式为s=k2t,
当t=100时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=eq \f(1,5),
t=150时,150k2-150k1-20=150×eq \f(1,5)-20=10.
答案 A
二、填空题
6.(2014·杭州六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶,A的速度是40 kmh,B的速度是 16 kmh,经过________小时,AB间的距离最短.
解析 设经过x h,A,B相距为y km,
则y=eq \r((145-40x(2+(16x(2)(0≤x≤eq \f(29,8)),求得函数的最小值时x的值为eq \f(25,8).
答案 eq \f(25,8)
7.(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=eq \f(1,2)a,
∴e-8b=eq \f(1,2),容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=eq \f(1,8)a,e-bt=eq \f(1,8)=(e-8b)3=e-24b,
则t=24,所以再经过16 min.
答案 16
8. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________(m).
解析 设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得eq \f(x,40)=eq \f(40-y,40),解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当x=20时,Smax=400.
答案 20
三、解答题
9.(2014·绍兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与
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