高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课学案苏教版选修21.doc

第三章 空间向量与立体 学习目标　1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题. 知识点一　空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行 l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R 线面平行 l∥α?________?________ 面面平行 α∥β?μ∥v?________ 线线垂直 l⊥m?________?________ 线面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R 面面垂直 α⊥β?μ⊥v?________ 线线夹角 l，m的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2))，cos θ＝________ 线面夹角 l，α的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2))，sin θ＝________ 面面夹角 α，β的夹角为θ(0≤θ≤eq \f(π,2))，cos θ＝________ 知识点二　用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键. 类型一　空间向量及其运算 例1　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论： ①eq \o(SA,\s\up6(→))＋eq \o(SB,\s\up6(→))＋eq \o(SC,\s\up6(→))＋eq \o(SD,\s\up6(→))＝0； ②eq \o(SA,\s\up6(→))＋eq \o(SB,\s\up6(→))－eq \o(SC,\s\up6(→))－eq \o(SD,\s\up6(→))＝0； ③eq \o(SA,\s\up6(→))－eq \o(SB,\s\up6(→))＋eq \o(SC,\s\up6(→))－eq \o(SD,\s\up6(→))＝0； ④eq \o(SA,\s\up6(→))·eq \o(SB,\s\up6(→))＝eq \o(SC,\s\up6(→))·eq \o(SD,\s\up6(→))； ⑤eq \o(SA,\s\up6(→))·eq \o(SC,\s\up6(→))＝0. 其中正确结论的序号是________. 反思与感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义. 跟踪训练1　如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M分eq \o(AC,\s\up6(→))成的比为eq \f(1,2)，N分eq \o(A1D,\s\up6(→))成的比为2，设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示eq \o(MN,\s\up6(→)). 类型二　利用空间向量解决位置关系问题 例2　四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证： (1)PC∥平面EBD. (2)平面PBC⊥平面PCD. 跟踪训练2　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1. 类型三　利用空间向量求角 例3　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值. 反思与感悟　用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解. (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ. (3)二面角： 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，