八年级数学上册 2.4 线段的垂直平分线课件 青岛版.ppt

* 2.4 线段的垂直平分线 问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址. ? ? ? A B C 学习目标： 　1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 　2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 　3．会用尺规作一条线段的垂直平分线，了解作图的道理． 自学指导：自学课本P45----P47页，小组完成下列问题 1.线段是轴对称图形吗？线段垂直平分线的定义是什么？你能用数学符号语言描述线段垂直平分线的定义吗？ 2.线段垂直平分线的性质是什么？在性质的探究（2）中，对于垂直平分线上的任意一点P分了哪两种情况？你能用几何证明的方法来说明吗？ 3.到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线上吗？也需要分类探究吗？请你说明一下。 4.如何用尺规做出已知线段的垂直平分线？明确作图方法及步骤；在作图过程中，为什么必须以大于 1/2 AB的长为半径画弧呢？ 文字语言：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 A B M N O 符号语言： ∵MN⊥AB，垂足为O 且AO=BO ∴直线MN是线段AB的垂直平分线 反过来： ∵直线MN是线段AB的垂直平分线 ∴MN⊥AB，AO=BO 即：∠AOM= ∠BOM=90o AO=BO 一、线段垂直平分线的定义 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 A B M N P 已知：线段AB，直线MN是线段AB的垂直平分线 交点为O，P为MN上任意一点 求证：PA=PB 证明：（1）当P点在AB上时 ∵MN是线段AB的垂直平分线 ∴P为线段AB的中点 ∴PA=PB （2）当P点不在AB上时 连接PA，PB ∵MN为线段AB的垂直平分线 ∴∠AOP= ∠BOP=90 o，AO=BO 在△AOP与△BOP中 AO=BO ∠AOP= ∠BOP OP=OP A B M N P O ∴ △AOP ≌ △BOP（SAS） ∴ PA=PB 二、线段垂直平分线的性质 1、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 牛刀小试一 解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等). 又∵在△BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， ∴BE+CE=10cm. ∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故应选择C. C 2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，则∠CAE= . 牛刀小试一 50° 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 互逆关系 A B ? 已知：线段AB和任意一点P，满足PA=PB 求证：P点在线段的垂直平分线上 P 证明：(1)当P在线段AB上时 ∵PA=PB ∴P为线段AB的中点 ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （2）当点P不在AB上时 取AB的中点O，连接PO ∵O为AB的中点 ∴AO=BO 在△AOP与△BOP中 AO=BO OP=OP PA=PB ∴ △AOP ≌ △BOP(SSS) A B ? P ? O ∴ ∠AOP= ∠ BOP ∵ ∠AOP+ ∠ BOP=180 o ∴ ∠AOP=∠ BOP=90o ∴PO是线段AB的垂直平分线 即P在线段AB的垂直平分线上 三、线段垂直平分线的判定 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平 分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 牛刀小试二 四、线段垂直平分线的画法 一画线段垂直平分线 尺规画法 ①分别以点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧交于点M、N ②过点M、N作直线. 则直线MN就是线段AB的垂直平分线(如图) A B M N O 二想一想 1、作法中为什么要“大于?AB长为半径”呢？ 2、为什么这样作出的直线就是线段AB的垂直平分线呢？ 作法中为什么要“大于?AB长为半径画弧”呢？ 假若以A,B为圆心， 当小于