代数几何综合题的解题方法.doc

PAGE PAGE 1 精编资料 代数几何综合题的解题方法. 北京一〇一中学 李爱民. 代数、几何综合题是指需综合运用代数、几何这两部分知识解题的问题，是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题 ... 综合题 代数几何综合题的解题方法 北京一〇一中学 李爱民 代数、几何综合题是指需综合运用代数、几何这两部分知识解题的问题，是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样. 代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了将大题分解为小题，复杂问题简单化的能力；考查了对代数几何知识的内在联系的认识，运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数中的方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代数、几何综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 这类题目往往是中考的压轴题. 解题方法：解这类题目时应从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析，架起连接代数与几何的桥梁关键点. 灵活运用数学思想方法，如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等. 例1. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)，如图1-1. Q Q 图1-1 如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26 cm，宽为x cm，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围． (2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)． 点拨：将图④中的纸条分别沿PM、PQ折叠，把折好的纸条打开，则得到如图1-2所示的带有折痕（虚线）的纸条（数学化）. 我们发现其中等腰直角三角形的斜边长正好等于纸条的宽，PM′等于5倍的纸条宽，从而可列方程求解. A A P M B M′ 图1-2 解：（1）由折纸的过程可知，要保证折后纸条两端均超出点P，则必须满足， ∴，解得； （2）∵图④是轴对称图形，由纸条两端超出点的长度相等，也即，折叠时起点与点的距离为，而， ∴AM=. 点M与点A的距离是（）cm. 归纳：本题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具有挑战性. 既考查了图形变换及轴对称、方程和不等式的知识，又考查了实践能力和数学建模能力，引导学生将实践变为真知，将感性上升为理性，这正是此题设计的价值所在. 如果不亲自动手实践，仅凭想象，是很难得到正确结果的.此题对学生的识图能力和动手实践能力提出了更高的要求. 实践操作型以文字、图形等形式介绍一种图案（实物）的设计（制作）流程，根据流程完成设计或制作，并在此基础解决设计或制作中所遇到的问题. 求解时，要注意挖掘设计（制作）过程中蕴涵的数学知识. 图2-1例2. 如图2-1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的 图2-1 （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 点拨：（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是惟一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 解：(1)E(3,1)；F(1,2)； (2)连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=. 设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠