高等数学随堂讲解重积分应用.pptxVIP

第八讲 重积分的应用 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 分布在有界闭域上的整体量 解题步骤 明确积分区域 确定积分元素 列出积分表达式 确定积分元素的方法 在微小局部 以不变代变 以直代曲 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 dA dσ dA在D上的投影 曲面面积公式 类似可得 例1 计算半径为 a 的球的表面积. 例2 注 (1) (2) 解题步骤: 明确(选择)曲面Σ的方程 明确(选择)曲面Σ的投影 求出曲面面积元素 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 设平面有n个质点 该质点系的质心坐标 第k个质点的位置 质点系的质心 质量 静矩 占有xoy 面上区域 D 面密度为μ(x,y) 平面薄片的质心 设有一平面薄片, 在D内任取一点(x,y) 面积元素 dσ 质量元素 静矩元素 质心坐标 当μ(x,y) 为常数时 平面图形的形心 例3 空间物体的质心 设物体占有空间域  , 有连续密度函数 物体的质心坐标 例4 求均匀半球体的质心. 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 设平面有n个质点 该质点系的转动惯量 第k个质点的位置 质点系的转动惯量 质量 占有xoy 面上区域 D 面密度为μ(x,y) 平面薄片的转动惯量 设有一平面薄片, 在D内任取一点(x,y) 面积元素 dσ 质量元素 转动惯量元素 平面薄片的转动惯量 例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径边的转动惯量. 空间物体的转动惯量 设物体占有空间域  , 有连续密度函数 物体的转动惯量 例6 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 重积分的应用 一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 G 为引力常数 设物体占有空间区域 , 物体对位于原点的单位质量质点的引力 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影 空间物体对物体外一质点的引力 各引力分量: 例7 平面薄片对薄片外一质点的引力 对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 例8