高教五版高数(经济类)不定积分换元积分法与分部积分法随堂讲解.pptVIP

* * 解 于是 * * 常用基本积分公式的补充 * * * * 新知识引入 (Introduction) 前面，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法” 。 但是， 对于形如 的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.　 注意到， 这些积分的被积函数都有共同的特点—— 都是两种不同类型函数的乘积。 这就启发我们把两个 这就是另一个基本的积分方法：分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分， * * 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 由导数乘法公式： * * 第四章 （Integration by Parts） 例18 求 解: 令 则 ∴ 原式 另解: 令 则 ∴ 原式 三、分部积分法 答案 * * 解 原式 解 . * * 解: 令 则 原式 = 例22 求 * * 解 * * 解: 令 则 ∴ 原式 例24 求 * * 解: 令 , 则 ∴ 原式 再令 , 则 故 原式 = 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 例25 求 自学课本例26、28 * * 解: 令 则 原式 令 例26求 * * 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令 , 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 解题技巧: （自学课本例5～6） * * 解: 令 , 则 原式 = 例6（补充题）求 * * 本节小结 2.分部积分公式 (1) 使用原则 : 易求出, 易积分 (2) 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 (3)题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 1.换元积分法 * * 课后练习 习题4-3 2单数 ; 3单数 思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同? * * 2. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 * * 3. 求下列积分: * * 4. 下述运算错在哪里? 应如何改正? 得 0 = 1 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 . * * 求不定积分 解： 利用凑微分法 , 原式 = 令 得 5. * (见L. P137-138) * * 复习引入 (Introduction) 在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质” 给出了“基本积分公式表” 。 但是， 对于形如 这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表 我们就无能为力了。 为此，…… * * 第三节 换元积分法与分部积分法 第四章 一、换元积分法 二、分部积分法 三、小结与思考题 * * 设 可导, 则有 基本思路 * * 一、第一类换元积分法 定理1 则有换元 公式 (也称配元法 , 凑微分法) * * 解 * * 解 所以 * * 解 * * 例4 求 答案： 例5 求 例6 求 答案： 例7 求 答案: 例8 求 答案： 或 * * 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 自学课本例14 * * 万能凑幂法 常用的几种配元形式: * * * * 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则用第二类换元积分法 . 难求， * * 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证: 令 则 则有换元公式 定理2 设 * * 解: 令 则 ∴ 原式 例14求 * * 解: 令 则 ∴ 原式 例15 求 * * 解: 令 则 ∴ 原式 例16 求 * * 令 于是 * * 或 从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有： 可作代换 可作代换 可作代换 * (见L. P137-138)