(经典)拉格朗日方程.pptVIP

（1）空间均匀性导致动量守恒 空间均匀性，意味着坐标可以任意平移，坐标平移时，体系中所有质点位移相同， 相同，所以 （2）空间各向同性导致角动量守恒 空间各向同性，意味着坐标轴方向可以任意转动。如图2.7所示，由于坐标转动 而引起质点的位移为 则L函数改变 可见 （3）时间均匀性导致能量守恒 约束稳定时（ 不显含时间t），H为体系的能量，上式为能量守恒定律。约束不稳定时，时间平移时，约束条件改变，时间均匀性被破坏，H不守恒。 时间均匀意味着时间原点（t=0时刻）可以任意选取。时间平移不引起L函数的改变，意味着L不显含时间，即 （前面已证明）： 。这时广义能量守恒 2.5 解题指导 拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程。 （1）用拉氏方程解题的步骤 ? 分析体系的约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程的条件； ? 判定体系的自由度，选取适当的广义坐标； ? 写出体系的动能T，势能V和拉氏函数L，并将L表成 和t函数： ； ? 将L代入拉氏方程，得出体系的运动微分方程； ? 解方程并讨论。 在半径为R的光滑圆环上穿有一质量为m的小球，圆环以恒定角速度ω绕竖直直径转动。求小球的运动微分方程。 （2）范例 [例1] 质点在旋转圆环上运动 解：小球在随圆环转动坐标系中自由度为1，以θ为广义坐标，其动能和势能为 L函数 代入L方程，得运动微分方程为 [例2] 移动的摆杆 如图2.9所示，均质杆AB长为b，质量为m，光滑斜面的倾角为β，滚轮A的质量忽略不计。试用拉氏方程建立系统的运动微分方程。 解：自由度=？如何选取广义坐标？ * 第2章 拉格朗日方程 内容: ? 基本概念 ? 理想完整系的拉格朗日方程 ? 对称性和守恒定律 重点: 完整保守系的拉格朗日方程 难点: 拉格朗日方程的推导 牛顿力学理论几乎都以力 为基础，因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴，运算也比较烦琐。18世纪伯努利、达朗贝尔、欧拉等人发展了经典力学的分析形式。1788年拉格朗日发表了名著《分析力学》，建立了经典力学的拉格朗日形式，用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力，将力学的研究和应用范围开拓到整个物理学。 2.1 分析力学的基本概念 2.1.1 约束、自由度 （1）约束 限制体系各质点的自由运动的条件称为约束。约束的数学表达称为约束方程。例如一质点限制在xy平面上运动，其约束方程为： Z=0。 如果约束只是限制质点的几何位置，称为几何约束或完整约束，约束方程为 （2.1） 如果约束除了限制质点的位置外，还要限制质点的运动速度则称为运动约束或微分约束，约束方程为 （2.2） 微分约束通过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约束。 （2）自由度 能完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目，称为体系的自由度。 例如一质点在空间运动时其位置需要三个独立的坐标参量表示，自由度为3；约束（限制）在一平面上运动时，自由度为2；约束在一直线上运动时自由度为1。 一个由n个质点组成的力学体系受k个完整约束时，其约束方程为 ； j=1，2，…k， （2.3） 2.1.2 位移理想约束 （1）虚位移和实位移 自由度为 S=3n-k （2.4） 图2.1 P 想象在某时刻t，质点发生一个约束 所许可的无限小位移，这一位移不是质点 实际运动产生的，而是想象的可能发生的 无限小的位移称为虚位移，用 表示。 运动时，在dt时间内实际发生位置变更称为实位移用 表示。 质点按规律 （2）理想约束 设质点i受到的约束力为 ，力 在虚位移 过程中做的虚功为 ，若整个体系的虚功 (2.5) 则体系所受的约束称为