高等数学随堂讲解三重积分与其在直角坐标系下计算.pptxVIP

第五讲 三重积分 及其在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算 一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义 一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义 非均匀物体的质量 分割： 取近似： 求和： 取极限： 一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义 一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义 定义 注 (1) (2) 三重积分的物理意义: 不均匀物体的质量(f(x,y,z)≥0) 三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算 线性性质 可加性 物理意义 V为Ω的体积 不等式 估值定理 中值定理 三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算 三、 三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法 三、 三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法 将其视为物体的密度函数 物体的质量为 细长柱体微元的质量： 类似可得 计算公式 物体质量： 计算步骤 (以向xoy平面投影为例) (1) 画出区域Ω的草图(或Ω的一部分). (2) 求区域Ω在xoy面的投影Dxy . (3) 定出z的上限和下限. 在Dxy内作平行于z 轴的直线， 穿入区域时,Ω的边界曲面F(x,y,z)=0确定的z=z1(x,y)为z的下限. 穿出区域时,Ω的边界曲面G(x,y,z)=0确定的z=z2(x,y)为z的上限. (4) 将二重积分化为累次积分. (5) 计算累次积分. 例1 例2 例3 三、 三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法 三、 三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 计算公式 设 类似可得 适用条件 f(x,y,z)是z的函数(与x和y无关) Dz的面积较易求出 例4 例5 适用条件 f(x,y,z)是z的函数(与x和y无关) Dz的面积较易求出 例4 例5 与