概率离散型随机变量及其分布律.pptVIP

练习 1. 假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为0.90，每台出现故障时需要由一人进行维护。问欲以95%以上的概率保证当设备出现故障时都能及时得到维护，至少需要安排几个人值班？ 解：设X为10台设备中同时出现故障的台数， 由题意知 X～ B(10，0.10),假定安排k人值班， 则问题是求k使得 P(X≤k) ≥ 0.95。由于 P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.3487+0.3874 ≈ 0.74 P(X≤2) = P(X≤1) + P(X=2) ≈ 0.93 ＜ 0.95 P(X≤3) = P(X≤2) + P(X=3) ≈ 0.9874 0.95, 因此，至少需要安排3人值班。 2. 某条生产线2分钟生产一件成品，假定次品的概率为0.01，问需要多长时间才能以不小于95%的概率断言至少出现一件次品。 解：设n为至少出现一件次品所要生产成品的件, 而 X 为n件成品中次品的件数，则由题意知 X～B (n，0.01)。本题的问题是先要求 n , 使得 P(X≥1) = 1－P(X= 0) = 1－ ≥ 0.95， 即 n ≥ ln0.05 / ln0.99 ≈ 298.0729。 由此知，至少需要298.0729×2≈597分钟， 即将近9小时57分钟，才能以不小于0.95的概率断言至少出现一件次品。 保险公司有10000名同年龄段、同社会阶层的人参加了人寿保险，根据调查，这类人的年死亡率为0.001。每个投保人在年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可从保险公司获得100000元的赔偿金。 试求保险公司在这项业务上 （1）亏本的概率； （2）获利不少于500000元的概率。 解 ：设X为10000名投保人一年中的死亡数， 则X～B(10000，0.001)。保险公司在这项业务上 总收入：200×10000=2000000(元)， 总支出：100000X(元)， 利润：2000000－100000X(元)。 “保险公司亏本” ={2000000－100000X＜0}={X＞20}， “获利不少于500000”={2000000－100000X≥500000}={X≤15} 因为 n = 10000很大，p = 0.001很小，所以可用 λ= n p = 10 的泊松 近似来近似计算它们的概率。 （1）P(X＞20) = 1－P(X≤20) ≈ 1－ ？ =1－ 0.998 = 0.002。 由此看出保险公司在这项业务上亏本的可能性是极小的。 （2）P(X≤15) ≈ ？ = 0.951。 从上可知，保险公司在这项业务上获利不少于500000元的可能性是很大的。 由上页： 关于超几何分布的说明 其概率分布为 k = 0，1，2，…，min (M，n) ， (其中 N ≥ M) 。 考虑在含有M件次品的N件产品中无放回地取n件，则次品数恰 为 k 件的概率即为上式，因此次品数X的分布为超几何分布。 直观上如 N 很大，而 n 相对较小，有放回抽取和无放回抽取的 差别是很小的。无放回抽取其次品数的分布为超几何分布，而 有放回抽取次品数的分布则应是二项分布。因此N很大时，有 其中 p = M / N。 概率论 概率论 第二节 离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律的定义 离散型随机变量表示方法 三种常见分布 小结 布置作业 定义1 ：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 . 一、离散型随机变量及其分布律的定义 定义2 ：设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取 的一切可能值，称 为离散型随机变量 X 的分布律（或分布列）. 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） （2） 用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律 解: 依据分布律的性质 P(X =k)≥0, a≥0 , 从中解得 即